Номер 23.6, страница 183 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3 \cdot 2^x + 2 \cdot 3^y = 12 \\ 2^x - 3^y = -1 \end{cases} $

Для решения этой системы введем замену переменных. Пусть $a = 2^x$ и $b = 3^y$. Поскольку значения показательных функций всегда положительны, то $a > 0$ и $b > 0$.

После замены система примет вид системы линейных уравнений:

$ \begin{cases} 3a + 2b = 12 \\ a - b = -1 \end{cases} $

Решим полученную систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $a$:

$a = b - 1$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3(b - 1) + 2b = 12$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $b$:

$3b - 3 + 2b = 12$

$5b = 15$

$b = 3$

Теперь найдем значение $a$:

$a = 3 - 1 = 2$

Значения $a=2$ и $b=3$ удовлетворяют условиям $a>0$ и $b>0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

$2^x = a \Rightarrow 2^x = 2 \Rightarrow 2^x = 2^1 \Rightarrow x = 1$

$3^y = b \Rightarrow 3^y = 3 \Rightarrow 3^y = 3^1 \Rightarrow y = 1$

Проверим найденное решение $(1, 1)$ подстановкой в исходную систему:

$3 \cdot 2^1 + 2 \cdot 3^1 = 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 6 + 6 = 12$

$2^1 - 3^1 = 2 - 3 = -1$

Оба равенства верны.

Ответ: $(1, 1)$

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2^x \cdot 4^y = 32 \\ x - y = 2 \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение, приведя все степени к одному основанию — 2. Известно, что $4 = 2^2$ и $32 = 2^5$.

Подставим эти значения в первое уравнение:

$2^x \cdot (2^2)^y = 2^5$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получим:

$2^x \cdot 2^{2y} = 2^5$

Далее, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:

$2^{x+2y} = 2^5$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x + 2y = 5$

Теперь исходная система эквивалентна системе линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ x - y = 2 \end{cases} $

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим $x$:

$x = y + 2$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(y + 2) + 2y = 5$

$3y + 2 = 5$

$3y = 3$

$y = 1$

Теперь найдем $x$:

$x = 1 + 2 = 3$

Проверим найденное решение $(3, 1)$ подстановкой в исходную систему:

$2^3 \cdot 4^1 = 8 \cdot 4 = 32$

$3 - 1 = 2$

Оба равенства верны.

Ответ: $(3, 1)$