Номер 23.8, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

23.8. 1) $(0,25)^{x^2 - 4} = 2^{x^2 - 1};$

2) $27^{-1} \cdot 9^{2x} = 243;$

3) $\sqrt[4]{5} \cdot 5^{3x} = 125;$

4) $6^{x+1} \cdot \sqrt[3]{6} = 216.$

1) $(0.25)^{x^2-4} = 2^{x^2-1}$

Чтобы решить это показательное уравнение, приведем обе его части к одному основанию, в данном случае к основанию 2.Заметим, что $0.25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(2^{-2})^{x^2-4} = 2^{x^2-1}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$ для левой части уравнения:

$2^{-2(x^2-4)} = 2^{x^2-1}$

$2^{-2x^2+8} = 2^{x^2-1}$

Теперь, когда основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$-2x^2+8 = x^2-1$

Решим полученное квадратное уравнение. Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2+2x^2 - 1 - 8 = 0$

$3x^2 - 9 = 0$

$3x^2 = 9$

$x^2 = 3$

Из этого следует, что уравнение имеет два корня:

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $x = \pm\sqrt{3}$.

2) $27^{x-1} \cdot 9^{2x} = 243$

Для решения этого уравнения приведем все числа к основанию 3:

$27 = 3^3$

$9 = 3^2$

$243 = 3^5$

Подставим эти значения в уравнение:

$(3^3)^{x-1} \cdot (3^2)^{2x} = 3^5$

Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$3^{3(x-1)} \cdot 3^{2(2x)} = 3^5$

$3^{3x-3} \cdot 3^{4x} = 3^5$

Теперь применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{(3x-3) + 4x} = 3^5$

$3^{7x-3} = 3^5$

Приравниваем показатели степеней:

$7x-3 = 5$

$7x = 8$

$x = \frac{8}{7}$

Ответ: $x = \frac{8}{7}$.

3) $\sqrt[4]{5} \cdot 5^{3x} = 125$

Приведем все члены уравнения к основанию 5.

Представим корень и число 125 в виде степени с основанием 5:

$\sqrt[4]{5} = 5^{\frac{1}{4}}$

$125 = 5^3$

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{3x} = 5^3$

Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для левой части:

$5^{\frac{1}{4} + 3x} = 5^3$

Так как основания равны, приравниваем показатели:

$\frac{1}{4} + 3x = 3$

Решим полученное уравнение:

$3x = 3 - \frac{1}{4}$

$3x = \frac{12}{4} - \frac{1}{4}$

$3x = \frac{11}{4}$

$x = \frac{11}{4 \cdot 3} = \frac{11}{12}$

Ответ: $x = \frac{11}{12}$.

4) $6^{x-1} \cdot \sqrt[3]{6} = 216$

Приведем все члены уравнения к основанию 6.

Представим корень и число 216 в виде степени с основанием 6:

$\sqrt[3]{6} = 6^{\frac{1}{3}}$

$216 = 6^3$

Подставим эти значения в уравнение:

$6^{x-1} \cdot 6^{\frac{1}{3}} = 6^3$

По свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ сложим показатели в левой части:

$6^{(x-1) + \frac{1}{3}} = 6^3$

$6^{x - \frac{3}{3} + \frac{1}{3}} = 6^3$

$6^{x - \frac{2}{3}} = 6^3$

Теперь приравняем показатели степеней:

$x - \frac{2}{3} = 3$

$x = 3 + \frac{2}{3}$

$x = \frac{9}{3} + \frac{2}{3}$

$x = \frac{11}{3}$

Ответ: $x = \frac{11}{3}$.