Номер 24.3, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

24.3. 1) $\lg(5 - x) + \lg x = \lg 4;$

2) $\lg(x + 1) + \lg(x - 1) = \lg 3;$

3) $\ln(6 - x) + \ln x = \ln 5;$

4) $\lg x + \lg(x - 3) = 1.$

1) Исходное уравнение: $lg(5 - x) + lg x = lg 4$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 5 - x > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 5 \\ x > 0 \end{cases}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; 5)$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$ для левой части уравнения:

$lg((5 - x) \cdot x) = lg 4$.

Так как основания логарифмов одинаковы (равны 10), мы можем приравнять их аргументы:

$(5 - x)x = 4$

$5x - x^2 = 4$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 4 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 4$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ $x \in (0; 5)$.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $0 < 1 < 5$.

Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет условию $0 < 4 < 5$.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: 1; 4.

2) Исходное уравнение: $lg(x + 1) + lg(x - 1) = lg 3$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > 1 \end{cases}$. Общим решением системы является $x > 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$.

Применим свойство суммы логарифмов:

$lg((x + 1)(x - 1)) = lg 3$.

В левой части используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$lg(x^2 - 1^2) = lg 3$

$lg(x^2 - 1) = lg 3$.

Приравниваем аргументы логарифмов:

$x^2 - 1 = 3$

$x^2 = 4$.

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ $x \in (1; +\infty)$.

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 > 1$.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 > 1$, следовательно, это посторонний корень.

Ответ: 2.

3) Исходное уравнение: $ln(6 - x) + ln x = ln 5$.

Здесь $ln$ — это натуральный логарифм (по основанию $e$).

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 6 - x > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 6 \\ x > 0 \end{cases}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; 6)$.

Применим свойство суммы логарифмов:

$ln((6 - x) \cdot x) = ln 5$.

Приравниваем аргументы:

$(6 - x)x = 5$

$6x - x^2 = 5$

$x^2 - 6x + 5 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 6$ и $x_1 \cdot x_2 = 5$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ $x \in (0; 6)$.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $0 < 1 < 6$.

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $0 < 5 < 6$.

Оба корня подходят.

Ответ: 1; 5.

4) Исходное уравнение: $lg x + lg(x - 3) = 1$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 3 \end{cases}$. Общим решением является $x > 3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (3; +\infty)$.

Представим правую часть уравнения в виде десятичного логарифма: $1 = lg 10$.

Уравнение примет вид: $lg x + lg(x - 3) = lg 10$.

Применим свойство суммы логарифмов:

$lg(x(x - 3)) = lg 10$.

Приравниваем аргументы:

$x(x - 3) = 10$

$x^2 - 3x = 10$

$x^2 - 3x - 10 = 0$.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2} = 5$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2} = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ $x \in (3; +\infty)$.

Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию $5 > 3$.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 > 3$, это посторонний корень.

Ответ: 5.