Номер 24.9, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

24.9. 1) $\lg\sqrt{3x+1} + \lg\sqrt{x+4} = \lg12;$

2) $\lg(x-2) - \lg\sqrt{x-4} = \lg3;$

3) $(x^2 - 4) \log_3(1 - x^2 - 3x) = 0;$

4) $(x^2 - x - 2) \log_2(x^2 - 4x + 4) = 0.$

1) Исходное уравнение: $lg \sqrt{3x+1} + lg \sqrt{x+4} = lg 12$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, а подкоренные выражения — неотрицательными. Так как аргументы логарифмов это корни, достаточно потребовать, чтобы подкоренные выражения были строго положительны:

$ \begin{cases} 3x + 1 > 0 \\ x + 4 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1/3 \\ x > -4 \end{cases} $.

Следовательно, ОДЗ: $x > -1/3$.

Используя свойство суммы логарифмов $lg a + lg b = lg(ab)$, преобразуем левую часть уравнения:

$lg(\sqrt{3x+1} \cdot \sqrt{x+4}) = lg 12$

$lg(\sqrt{(3x+1)(x+4)}) = lg 12$

Поскольку логарифмическая функция является монотонной, мы можем приравнять аргументы:

$\sqrt{(3x+1)(x+4)} = 12$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(3x+1)(x+4) = 144$

$3x^2 + 12x + x + 4 = 144$

$3x^2 + 13x - 140 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-140) = 169 + 1680 = 1849 = 43^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-13 + 43}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$.

$x_2 = \frac{-13 - 43}{2 \cdot 3} = \frac{-56}{6} = -\frac{28}{3}$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > -1/3$).

$x_1 = 5$ удовлетворяет условию, так как $5 > -1/3$.

$x_2 = -28/3 = -9\frac{1}{3}$ не удовлетворяет условию, так как $-28/3 < -1/3$.

Таким образом, уравнение имеет один корень.

Ответ: 5.

2) Исходное уравнение: $lg(x - 2) - lg\sqrt{x - 4} = lg3$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ x - 4 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > 4 \end{cases} $.

Следовательно, ОДЗ: $x > 4$.

Используя свойство разности логарифмов $lg a - lg b = lg(a/b)$, преобразуем левую часть:

$lg\frac{x - 2}{\sqrt{x - 4}} = lg3$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$\frac{x - 2}{\sqrt{x - 4}} = 3$

$x - 2 = 3\sqrt{x - 4}$

Возведем обе части в квадрат. Поскольку при $x>4$ обе части уравнения положительны, это преобразование является равносильным.

$(x - 2)^2 = (3\sqrt{x - 4})^2$

$x^2 - 4x + 4 = 9(x - 4)$

$x^2 - 4x + 4 = 9x - 36$

$x^2 - 13x + 40 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

Сумма корней $x_1 + x_2 = 13$.

Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 40$.

Корни: $x_1 = 5$, $x_2 = 8$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 4$), так как $5 > 4$ и $8 > 4$.

Ответ: 5; 8.

3) Исходное уравнение: $(x^2 - 4) \log_3(1 - x^2 - 3x) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует.Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$1 - x^2 - 3x > 0$

$x^2 + 3x - 1 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 1 = 0$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$.

$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Так как парабола $y = x^2 + 3x - 1$ направлена ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями.ОДЗ: $x \in (\frac{-3 - \sqrt{13}}{2}; \frac{-3 + \sqrt{13}}{2})$.

Рассмотрим два случая:

1. $x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = 2, x_2 = -2$.

2. $\log_3(1 - x^2 - 3x) = 0 \implies 1 - x^2 - 3x = 3^0 \implies 1 - x^2 - 3x = 1 \implies -x^2 - 3x = 0 \implies -x(x+3)=0 \implies x_3 = 0, x_4 = -3$.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ $x \in (\frac{-3 - \sqrt{13}}{2}; \frac{-3 + \sqrt{13}}{2})$. Приближенно $\sqrt{13} \approx 3.6$, тогда интервал ОДЗ примерно $(-3.3; 0.3)$.

- $x = 2$: не принадлежит ОДЗ, так как $2 > 0.3$.

- $x = -2$: принадлежит ОДЗ, так как $-3.3 < -2 < 0.3$.

- $x = 0$: принадлежит ОДЗ, так как $-3.3 < 0 < 0.3$.

- $x = -3$: принадлежит ОДЗ, так как $-3.3 < -3 < 0.3$.

Ответ: -3; -2; 0.

4) Исходное уравнение: $(x^2 - x - 2) \log_2(x^2 - 4x + 4) = 0$.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 - 4x + 4 > 0$

$(x - 2)^2 > 0$

Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x = 2$.ОДЗ: $x \neq 2$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

1. $x^2 - x - 2 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -2$.

Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

2. $\log_2(x^2 - 4x + 4) = 0$.

$x^2 - 4x + 4 = 2^0$

$x^2 - 4x + 4 = 1$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета: $x_3 + x_4 = 4$, $x_3 \cdot x_4 = 3$.

Корни: $x_3 = 1$, $x_4 = 3$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$).

- $x = 2$: не удовлетворяет ОДЗ.

- $x = -1$: удовлетворяет ОДЗ.

- $x = 1$: удовлетворяет ОДЗ.

- $x = 3$: удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1; 1; 3.