Номер 24.12, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите системы уравнений (24.12–24.14):

24.12. 1) $ \begin{cases} \log_3 (y - x) = 1, \\ 3^{x+1} \cdot 2^y = 24; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \log_2 (x - y) = 1, \\ 2^x \cdot 3^{y+1} = 72. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \log_3(y-x) = 1, \\ 3^{x+1} \cdot 2^y = 24. \end{cases} $

Сначала преобразуем первое уравнение. По определению логарифма, если $ \log_a b = c $, то $ a^c = b $. Применяя это к нашему уравнению, получаем:

$ y - x = 3^1 $

$ y - x = 3 $

Из этого уравнения выразим $ y $ через $ x $:

$ y = x + 3 $

Область допустимых значений для логарифма требует, чтобы выражение под логарифмом было положительным: $ y - x > 0 $. Поскольку мы получили $ y - x = 3 $, это условие ($3 > 0$) выполняется.

Теперь преобразуем второе уравнение, используя свойство степеней $ a^{m+n} = a^m \cdot a^n $:

$ 3^{x+1} \cdot 2^y = 24 $

$ 3^x \cdot 3^1 \cdot 2^y = 24 $

$ 3 \cdot 3^x \cdot 2^y = 24 $

Разделим обе части уравнения на 3:

$ 3^x \cdot 2^y = 8 $

Теперь у нас есть упрощенная система:

$ \begin{cases} y = x + 3, \\ 3^x \cdot 2^y = 8. \end{cases} $

Подставим выражение для $ y $ из первого уравнения во второе:

$ 3^x \cdot 2^{x+3} = 8 $

Используем свойство степеней еще раз:

$ 3^x \cdot (2^x \cdot 2^3) = 8 $

$ 3^x \cdot 2^x \cdot 8 = 8 $

Разделим обе части на 8:

$ 3^x \cdot 2^x = 1 $

Используем свойство степеней $ a^m \cdot b^m = (ab)^m $:

$ (3 \cdot 2)^x = 1 $

$ 6^x = 1 $

Поскольку любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, получаем:

$ x = 0 $

Найдем $ y $, подставив значение $ x $ в выражение $ y = x + 3 $:

$ y = 0 + 3 = 3 $

Проверим полученное решение $(0; 3)$ в исходной системе:

$ \log_3(3-0) = \log_3(3) = 1 $. Первое уравнение верно.

$ 3^{0+1} \cdot 2^3 = 3^1 \cdot 8 = 24 $. Второе уравнение верно.

Ответ: $(0; 3)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \log_2(x-y) = 1, \\ 2^x \cdot 3^{y+1} = 72. \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение по определению логарифма:

$ x - y = 2^1 $

$ x - y = 2 $

Выразим $ x $ через $ y $:

$ x = y + 2 $

Область допустимых значений $ x - y > 0 $ выполняется, так как $ 2 > 0 $.

Преобразуем второе уравнение:

$ 2^x \cdot 3^{y+1} = 72 $

$ 2^x \cdot 3^y \cdot 3^1 = 72 $

$ 3 \cdot 2^x \cdot 3^y = 72 $

Разделим обе части на 3:

$ 2^x \cdot 3^y = 24 $

Теперь у нас есть система:

$ \begin{cases} x = y + 2, \\ 2^x \cdot 3^y = 24. \end{cases} $

Подставим выражение для $ x $ из первого уравнения во второе:

$ 2^{y+2} \cdot 3^y = 24 $

Применим свойство степеней:

$ (2^y \cdot 2^2) \cdot 3^y = 24 $

$ 2^y \cdot 4 \cdot 3^y = 24 $

$ 4 \cdot (2^y \cdot 3^y) = 24 $

Разделим обе части на 4:

$ 2^y \cdot 3^y = 6 $

Используем свойство $ a^m \cdot b^m = (ab)^m $:

$ (2 \cdot 3)^y = 6 $

$ 6^y = 6^1 $

Отсюда:

$ y = 1 $

Найдем $ x $, подставив значение $ y $ в выражение $ x = y + 2 $:

$ x = 1 + 2 = 3 $

Проверим полученное решение $(3; 1)$ в исходной системе:

$ \log_2(3-1) = \log_2(2) = 1 $. Первое уравнение верно.

$ 2^3 \cdot 3^{1+1} = 8 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72 $. Второе уравнение верно.

Ответ: $(3; 1)$.