Номер 24.16, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

24.16. 1) $log_{2x+3} \frac{1}{4} + 2 = 0;$

2) $log_{\frac{2x-1}{x+2}} 3 - 1 = 0;$

3) $log_{\sqrt{6-x}} 3 - 2 = 0;$

4) $log_{\frac{1}{\sqrt{x+2}}} 5 + 2 = 0.$

1)

Дано уравнение $log_{2x+3} \frac{1}{4} + 2 = 0$.

Перенесем 2 в правую часть уравнения: $log_{2x+3} \frac{1}{4} = -2$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице:

$2x + 3 > 0 \implies 2x > -3 \implies x > -1.5$

$2x + 3 \neq 1 \implies 2x \neq -2 \implies x \neq -1$

Аргумент логарифма $\frac{1}{4} > 0$, что является верным.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-1.5; -1) \cup (-1; +\infty)$.

По определению логарифма ($log_b a = c \iff b^c = a$), получаем:

$(2x+3)^{-2} = \frac{1}{4}$

$\frac{1}{(2x+3)^2} = \frac{1}{4}$

$(2x+3)^2 = 4$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два случая:

1. $2x+3 = 2 \implies 2x = -1 \implies x = -0.5$

2. $2x+3 = -2 \implies 2x = -5 \implies x = -2.5$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ.

Корень $x = -0.5$ удовлетворяет условиям $x > -1.5$ и $x \neq -1$.

Корень $x = -2.5$ не удовлетворяет условию $x > -1.5$, поэтому является посторонним.

Ответ: -0,5.

2)

Дано уравнение $log_{\frac{2x-1}{x+2}} 3 - 1 = 0$.

Перенесем 1 в правую часть: $log_{\frac{2x-1}{x+2}} 3 = 1$.

Найдем ОДЗ. Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице:

$\frac{2x-1}{x+2} > 0$

$\frac{2x-1}{x+2} \neq 1$

Решим неравенство $\frac{2x-1}{x+2} > 0$ методом интервалов. Нули числителя: $x = 0.5$. Нули знаменателя: $x = -2$. Интервалы, где выражение положительно: $(-\infty; -2) \cup (0.5; +\infty)$.

Решим условие неравенства единице: $\frac{2x-1}{x+2} \neq 1 \implies 2x-1 \neq x+2 \implies x \neq 3$.

ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (0.5; 3) \cup (3; +\infty)$.

Из уравнения $log_{b} a = 1$ следует, что основание равно аргументу $b = a$:

$\frac{2x-1}{x+2} = 3$

$2x-1 = 3(x+2)$

$2x-1 = 3x+6$

$3x-2x = -1-6$

$x = -7$

Проверим корень на соответствие ОДЗ. Корень $x=-7$ принадлежит интервалу $(-\infty; -2)$, следовательно, является решением.

Ответ: -7.

3)

Дано уравнение $log_{\sqrt{6-x}} 3 - 2 = 0$.

Перенесем 2 в правую часть: $log_{\sqrt{6-x}} 3 = 2$.

Найдем ОДЗ. Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице:

$\sqrt{6-x} > 0 \implies 6-x > 0 \implies x < 6$

$\sqrt{6-x} \neq 1 \implies 6-x \neq 1 \implies x \neq 5$

ОДЗ: $x \in (-\infty; 5) \cup (5; 6)$.

По определению логарифма:

$(\sqrt{6-x})^2 = 3$

$6-x = 3$

$x = 6-3$

$x = 3$

Проверим корень на соответствие ОДЗ. Корень $x=3$ удовлетворяет условиям $x < 6$ и $x \neq 5$, следовательно, является решением.

Ответ: 3.

4)

Дано уравнение $log_{\frac{1}{\sqrt{x+2}}} 5 + 2 = 0$.

Перенесем 2 в правую часть: $log_{\frac{1}{\sqrt{x+2}}} 5 = -2$.

Найдем ОДЗ. Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице:

$\frac{1}{\sqrt{x+2}} > 0$. Это выполняется, если подкоренное выражение строго больше нуля: $x+2 > 0 \implies x > -2$.

$\frac{1}{\sqrt{x+2}} \neq 1 \implies \sqrt{x+2} \neq 1 \implies x+2 \neq 1 \implies x \neq -1$.

ОДЗ: $x \in (-2; -1) \cup (-1; +\infty)$.

По определению логарифма:

$(\frac{1}{\sqrt{x+2}})^{-2} = 5$

$(\sqrt{x+2})^2 = 5$

$x+2 = 5$

$x = 3$

Проверим корень на соответствие ОДЗ. Корень $x=3$ удовлетворяет условиям $x > -2$ и $x \neq -1$, следовательно, является решением.

Ответ: 3.