Номер 24.21, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

24.21. Постройте график функции:

1) $y = \ln x - 1$;

2) $y = \ln |x - 1|$;

3) $y = \ln |2 - x|$;

4) $y = \ln |x + 2|$.

1) y = lnx - 1

Для построения графика функции $y = \ln x - 1$ воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Начнем с построения базового графика функции натурального логарифма $y = \ln x$. Это возрастающая функция, определенная для всех $x > 0$. Она проходит через точку $(1, 0)$, так как $\ln 1 = 0$, и через точку $(e, 1)$, где $e \approx 2.718$. Ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой, к которой график стремится при $x \to 0^+$.

2. Далее, чтобы получить график функции $y = \ln x - 1$, необходимо сдвинуть график функции $y = \ln x$ на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$.

Характеристики итогового графика $y = \ln x - 1$:

- Область определения: $x > 0$.

- Вертикальная асимптота: $x = 0$.

- Пересечение с осью $Ox$ (нуль функции): найдем $x$, при котором $y=0$. $\ln x - 1 = 0 \implies \ln x = 1 \implies x = e$. Точка пересечения с осью $Ox$ — $(e, 0)$.

- Контрольная точка: точка $(1, 0)$ с графика $y = \ln x$ смещается в точку $(1, -1)$.

Ответ: График функции $y = \ln x - 1$ получается из графика $y = \ln x$ путем его сдвига на 1 единицу вниз. Это логарифмическая кривая, проходящая через точку $(e, 0)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$.

2) y = ln|x - 1|

Построение этого графика также выполним в несколько шагов.

1. Сначала построим график функции $y = \ln x$.

2. Затем сдвинем этот график на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$, чтобы получить график функции $y = \ln(x - 1)$. Область определения этой функции $x - 1 > 0$, то есть $x > 1$. Вертикальной асимптотой будет прямая $x = 1$. График будет пересекать ось $Ox$ в точке $x-1=1 \implies x=2$.

3. Теперь построим график $y = \ln|x - 1|$. Область определения этой функции: $|x - 1| > 0$, что означает $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

- При $x > 1$, $|x - 1| = x - 1$, и график $y = \ln|x - 1|$ совпадает с графиком $y = \ln(x - 1)$, который мы построили на шаге 2.

- При $x < 1$, функция $y = \ln|x-1|$ также определена. Так как функция $y = \ln|x - 1|$ является четной относительно прямой $x=1$ (то есть $f(1+a) = f(1-a)$), ее график для $x < 1$ можно получить, отразив симметрично относительно прямой $x=1$ ту часть графика, которую мы построили для $x > 1$.

Характеристики итогового графика $y = \ln|x - 1|$:

- Область определения: $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$.

- Вертикальная асимптота: $x = 1$.

- Пересечение с осью $Ox$: $\ln|x - 1| = 0 \implies |x - 1| = 1$. Это дает два уравнения: $x - 1 = 1 \implies x = 2$ и $x - 1 = -1 \implies x = 0$. Точки пересечения: $(2, 0)$ и $(0, 0)$.

- График симметричен относительно прямой $x=1$.

Ответ: График функции $y = \ln|x - 1|$ состоит из двух ветвей, симметричных относительно вертикальной асимптоты $x=1$. Правая ветвь является графиком $y = \ln(x-1)$, а левая — его зеркальным отражением. График проходит через точки $(0,0)$ и $(2,0)$.

3) y = ln|2 - x|

Заметим, что $|2 - x| = |-(x - 2)| = |x - 2|$. Таким образом, функция $y = \ln|2 - x|$ полностью совпадает с функцией $y = \ln|x - 2|$. Построение ее графика аналогично предыдущему пункту, но со сдвигом на 2 единицы.

1. Строим график $y = \ln x$.

2. Сдвигаем его на 2 единицы вправо, чтобы получить график $y = \ln(x - 2)$. Его область определения $x > 2$, асимптота $x = 2$, пересечение с $Ox$ в точке $x=3$.

3. Чтобы получить график $y = \ln|x - 2|$, мы берем построенный график $y = \ln(x - 2)$ для $x > 2$ и симметрично отражаем его относительно вертикальной асимптоты $x=2$.

Характеристики итогового графика $y = \ln|2 - x|$:

- Область определения: $2 - x \neq 0 \implies x \neq 2$.

- Вертикальная асимптота: $x = 2$.

- Пересечение с осью $Ox$: $\ln|2 - x| = 0 \implies |2 - x| = 1$. Это дает два уравнения: $2 - x = 1 \implies x = 1$ и $2 - x = -1 \implies x = 3$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

- Пересечение с осью $Oy$: при $x=0$, $y = \ln|2 - 0| = \ln 2$. Точка $(0, \ln 2)$.

Ответ: График функции $y = \ln|2 - x|$ состоит из двух ветвей, симметричных относительно вертикальной асимптоты $x=2$. График пересекает ось абсцисс в точках $(1, 0)$ и $(3, 0)$ и ось ординат в точке $(0, \ln 2)$.

4) y = ln|x + 2|

Построение этого графика также аналогично предыдущим.

1. Начинаем с графика $y = \ln x$.

2. Сдвигаем его на 2 единицы влево вдоль оси $Ox$, чтобы получить график функции $y = \ln(x + 2)$. Область определения этой функции $x + 2 > 0$, то есть $x > -2$. Вертикальной асимптотой будет прямая $x = -2$. График будет пересекать ось $Ox$ в точке $x+2=1 \implies x=-1$.

3. Для получения графика $y = \ln|x + 2|$ мы берем построенный график $y = \ln(x + 2)$ для $x > -2$ и симметрично отражаем его относительно вертикальной асимптоты $x=-2$.

Характеристики итогового графика $y = \ln|x + 2|$:

- Область определения: $x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

- Вертикальная асимптота: $x = -2$.

- Пересечение с осью $Ox$: $\ln|x + 2| = 0 \implies |x + 2| = 1$. Это дает два уравнения: $x + 2 = 1 \implies x = -1$ и $x + 2 = -1 \implies x = -3$. Точки пересечения: $(-1, 0)$ и $(-3, 0)$.

- Пересечение с осью $Oy$: при $x=0$, $y = \ln|0 + 2| = \ln 2$. Точка $(0, \ln 2)$.

Ответ: График функции $y = \ln|x + 2|$ состоит из двух ветвей, симметричных относительно вертикальной асимптоты $x=-2$. График пересекает ось абсцисс в точках $(-1, 0)$ и $(-3, 0)$ и ось ординат в точке $(0, \ln 2)$.