Страница 202 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите логарифмические неравенства (26.7—26.9):

26.7. 1) $ \lg(x^2 + 2x + 2) < 1; $

2) $ \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - x - 2) > -2; $

3) $ \log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x - 1) < -1; $

4) $ \log_2(x^2 + 10) < 4. $

1) $\lg(x^2 + 2x + 2) < 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 + 2x + 2 > 0$

Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Так как дискриминант $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), выражение $x^2 + 2x + 2$ положительно для всех действительных $x$. Следовательно, ОДЗ: $x \in R$.

Теперь решим само неравенство. Основание десятичного логарифма равно 10, а $10 > 1$, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется.

Представим 1 как логарифм по основанию 10: $1 = \lg(10)$.

$\lg(x^2 + 2x + 2) < \lg(10)$

$x^2 + 2x + 2 < 10$

$x^2 + 2x - 8 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + 2x - 8$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 2x - 8 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

$-4 < x < 2$.

Поскольку ОДЗ охватывает все действительные числа, полученный интервал и является решением неравенства.

Ответ: $(-4; 2)$.

2) $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - x - 2) > -2$

Найдем ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным.

$x^2 - x - 2 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$. Корни: $x_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$.

Ветви параболы $y = x^2 - x - 2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.

ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

Решим неравенство. Основание логарифма $\frac{1}{2}$ меньше 1 ($0 < \frac{1}{2} < 1$), поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный.

Представим правую часть как логарифм по основанию $\frac{1}{2}$: $-2 = \log_{\frac{1}{2}}((\frac{1}{2})^{-2}) = \log_{\frac{1}{2}}(4)$.

$\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - x - 2) > \log_{\frac{1}{2}}(4)$

$x^2 - x - 2 < 4$

$x^2 - x - 6 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

Неравенство $x^2 - x - 6 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (-2; 3)$.

Теперь найдем пересечение полученного решения $x \in (-2; 3)$ с ОДЗ $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

Пересекая эти множества, получаем: $x \in (-2; -1) \cup (2; 3)$.

Ответ: $(-2; -1) \cup (2; 3)$.

3) $\log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x - 1) < -1$

Найдем ОДЗ: $x^2 + 3x - 1 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 1 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$. Корни $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.

ОДЗ: $x \in \left(-\infty; \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}\right) \cup \left(\frac{-3 + \sqrt{13}}{2}; +\infty\right)$.

Решим неравенство. Основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный.

Представим -1 как логарифм по основанию $\frac{1}{3}$: $-1 = \log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-1}) = \log_{\frac{1}{3}}(3)$.

$\log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x - 1) < \log_{\frac{1}{3}}(3)$

$x^2 + 3x - 1 > 3$

$x^2 + 3x - 4 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$.

Неравенство $x^2 + 3x - 4 > 0$ выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty)$.

Найдем пересечение решения $x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty)$ с ОДЗ. Сравним границы интервалов:

$(-4)$ и $(\frac{-3 - \sqrt{13}}{2})$. Так как $\sqrt{13} \approx 3.6$, то $\frac{-3 - \sqrt{13}}{2} \approx \frac{-6.6}{2} = -3.3$. Поскольку $-4 < -3.3$, интервал $(-\infty; -4)$ является подмножеством интервала $(-\infty; \frac{-3 - \sqrt{13}}{2})$.

$1$ и $(\frac{-3 + \sqrt{13}}{2})$. $\frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{0.6}{2} = 0.3$. Поскольку $1 > 0.3$, интервал $(1; +\infty)$ является подмножеством интервала $(\frac{-3 + \sqrt{13}}{2}; +\infty)$.

Таким образом, решение полностью удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(-\infty; -4) \cup (1; +\infty)$.

4) $\log_2(x^2 + 10) < 4$

Найдем ОДЗ: $x^2 + 10 > 0$.

Так как $x^2 \geq 0$ для любого $x$, то $x^2 + 10 \geq 10$. Следовательно, выражение $x^2 + 10$ всегда положительно.

ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решим неравенство. Основание логарифма $2 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется.

Представим 4 как логарифм по основанию 2: $4 = \log_2(2^4) = \log_2(16)$.

$\log_2(x^2 + 10) < \log_2(16)$

$x^2 + 10 < 16$

$x^2 - 6 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 6 = 0$. Корни $x_{1,2} = \pm\sqrt{6}$.

Неравенство $x^2 - 6 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $-\sqrt{6} < x < \sqrt{6}$.

Решение полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $(-\sqrt{6}; \sqrt{6})$.

26.8. 1) $2^{\log_3 \frac{x-1}{3x+3}} < \frac{1}{4}$;

2) $3^{\log_3 \frac{x-1}{x+1}} < \frac{1}{9}$;

3) $(5x+1) \lg(4-x) < 0$;

4) $(3-x) \lg(2x-1) > 0$.

1) Решим неравенство $2^{\log_3 \frac{x-1}{3x+3}} < \frac{1}{4}$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть положительным:

$\frac{x-1}{3x+3} > 0$

$\frac{x-1}{3(x+1)} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя: $x=1$. Корни знаменателя: $x=-1$.

На числовой оси отмечаем точки -1 и 1, которые разбивают ее на интервалы. Проверяем знаки на интервалах: $(-\infty; -1)$: $(+)$; $(-1; 1)$: $(-)$; $(1; +\infty)$: $(+)$.

Неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$. Это и есть ОДЗ.

Теперь решим исходное неравенство. Представим правую часть как степень с основанием 2: $\frac{1}{4} = 4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}$.

$2^{\log_3 \frac{x-1}{3x+3}} < 2^{-2}$

Так как основание степени $2 > 1$, то для показателей степени знак неравенства сохраняется:

$\log_3 \frac{x-1}{3x+3} < -2$

Представим -2 как логарифм по основанию 3: $-2 = \log_3 3^{-2} = \log_3 \frac{1}{9}$.

$\log_3 \frac{x-1}{3x+3} < \log_3 \frac{1}{9}$

Так как основание логарифма $3 > 1$, то для подлогарифмических выражений знак неравенства сохраняется:

$\frac{x-1}{3x+3} < \frac{1}{9}$

Решим это рациональное неравенство:

$\frac{x-1}{3(x+1)} - \frac{1}{9} < 0$

$\frac{3(x-1) - (x+1)}{9(x+1)} < 0$

$\frac{3x - 3 - x - 1}{9(x+1)} < 0$

$\frac{2x - 4}{9(x+1)} < 0$

$\frac{x-2}{x+1} < 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется для $x \in (-1; 2)$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$(-1; 2) \cap ((-\infty; -1) \cup (1; +\infty)) = (1; 2)$.

Ответ: $x \in (1; 2)$.

2) Решим неравенство $3^{\log_3 \frac{x-1}{x+1}} < \frac{1}{9}$.

ОДЗ: $\frac{x-1}{x+1} > 0$.

Методом интервалов находим, что ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, упростим левую часть неравенства:

$\frac{x-1}{x+1} < \frac{1}{9}$

Решим полученное рациональное неравенство:

$\frac{x-1}{x+1} - \frac{1}{9} < 0$

$\frac{9(x-1) - (x+1)}{9(x+1)} < 0$

$\frac{9x - 9 - x - 1}{9(x+1)} < 0$

$\frac{8x - 10}{9(x+1)} < 0$

$\frac{4x - 5}{x+1} < 0$

Корни числителя: $x = 5/4$. Корень знаменателя: $x=-1$.

Методом интервалов находим, что решение этого неравенства: $x \in (-1; 5/4)$.

Пересекаем это решение с ОДЗ:

$(-1; 5/4) \cap ((-\infty; -1) \cup (1; +\infty)) = (1; 5/4)$.

Ответ: $x \in (1; 5/4)$.

3) Решим неравенство $(5x+1)\lg(4-x) < 0$.

ОДЗ: $4-x > 0 \Rightarrow x < 4$.

Произведение двух множителей отрицательно, если они имеют разные знаки. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $5x+1 > 0$ и $\lg(4-x) < 0$.

$5x+1 > 0 \Rightarrow x > -1/5$.

$\lg(4-x) < 0 \Rightarrow \lg(4-x) < \lg(1) \Rightarrow 4-x < 1 \Rightarrow x > 3$.

Система $\begin{cases} x > -1/5 \\ x > 3 \end{cases}$ дает решение $x > 3$. С учетом ОДЗ ($x < 4$) получаем $x \in (3; 4)$.

Случай 2: $5x+1 < 0$ и $\lg(4-x) > 0$.

$5x+1 < 0 \Rightarrow x < -1/5$.

$\lg(4-x) > 0 \Rightarrow \lg(4-x) > \lg(1) \Rightarrow 4-x > 1 \Rightarrow x < 3$.

Система $\begin{cases} x < -1/5 \\ x < 3 \end{cases}$ дает решение $x < -1/5$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x < 4$), поэтому $x \in (-\infty; -1/5)$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; -1/5) \cup (3; 4)$.

4) Решим неравенство $(3-x)\lg(2x-1) > 0$.

ОДЗ: $2x-1 > 0 \Rightarrow x > 1/2$.

Произведение двух множителей положительно, если они имеют одинаковые знаки. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $3-x > 0$ и $\lg(2x-1) > 0$.

$3-x > 0 \Rightarrow x < 3$.

$\lg(2x-1) > 0 \Rightarrow \lg(2x-1) > \lg(1) \Rightarrow 2x-1 > 1 \Rightarrow 2x > 2 \Rightarrow x > 1$.

Система $\begin{cases} x < 3 \\ x > 1 \end{cases}$ дает решение $x \in (1; 3)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 1/2$).

Случай 2: $3-x < 0$ и $\lg(2x-1) < 0$.

$3-x < 0 \Rightarrow x > 3$.

$\lg(2x-1) < 0 \Rightarrow 0 < 2x-1 < 1 \Rightarrow 1 < 2x < 2 \Rightarrow 1/2 < x < 1$.

Система $\begin{cases} x > 3 \\ 1/2 < x < 1 \end{cases}$ не имеет решений, так как интервалы не пересекаются.

Решением является только результат первого случая.

Ответ: $x \in (1; 3)$.

26.9. 1) $\log_{\frac{1}{6}}\left(\log_2\left(\sqrt{6-x}\right)\right) > 0;$

2) $\log_{\frac{1}{2}}\left(\log_3\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\right) > 0;$

3) $\log_{0.5}\log_5\left(\frac{x-2}{x+2}\right) > \log_{0.5}1;$

4) $\log_{2.5}\left(\log_3\left(9^x - 6\right)\right) > 0.$

1) $\log_{\frac{1}{6}}(\log_2 \sqrt{6-x}) > 0$

Для решения данного логарифмического неравенства необходимо рассмотреть область допустимых значений (ОДЗ).

Аргумент внешнего логарифма должен быть строго больше нуля: $\log_2 \sqrt{6-x} > 0$.

Так как основание логарифма $2 > 1$, это неравенство равносильно $\sqrt{6-x} > 2^0$, то есть $\sqrt{6-x} > 1$.

Возведя обе части в квадрат, получаем $6-x > 1$, откуда $x < 5$.

Также аргумент внутреннего логарифма должен быть больше нуля: $\sqrt{6-x} > 0$, что означает $6-x > 0$, или $x < 6$.

Объединяя условия ОДЗ ($x < 5$ и $x < 6$), получаем, что ОДЗ: $x < 5$.

Теперь решаем исходное неравенство. Основание внешнего логарифма $\frac{1}{6}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$\log_2 \sqrt{6-x} < (\frac{1}{6})^0$

$\log_2 \sqrt{6-x} < 1$

Так как основание внутреннего логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\sqrt{6-x} < 2^1$

$\sqrt{6-x} < 2$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат:

$6-x < 4$

$x > 2$

Находим пересечение полученного решения $x > 2$ с ОДЗ $x < 5$.

Итоговое решение: $2 < x < 5$.

Ответ: $(2; 5)$

2) $\log_{\frac{1}{2}}(\log_3 \frac{x+1}{x-1}) > 0$

Найдем ОДЗ. Аргумент внешнего логарифма должен быть больше нуля:

$\log_3 \frac{x+1}{x-1} > 0$

Так как основание $3 > 1$, то $\frac{x+1}{x-1} > 3^0$, то есть $\frac{x+1}{x-1} > 1$.

$\frac{x+1}{x-1} - 1 > 0 \implies \frac{x+1 - (x-1)}{x-1} > 0 \implies \frac{2}{x-1} > 0$.

Это неравенство выполняется при $x-1 > 0$, то есть $x > 1$.

Аргумент внутреннего логарифма также должен быть больше нуля: $\frac{x+1}{x-1} > 0$. Методом интервалов находим, что это верно при $x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.

Пересечение условий ОДЗ ($x>1$ и $x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$) дает нам ОДЗ: $x > 1$.

Решаем исходное неравенство. Основание $\frac{1}{2} < 1$, поэтому знак неравенства меняется:

$\log_3 \frac{x+1}{x-1} < (\frac{1}{2})^0$

$\log_3 \frac{x+1}{x-1} < 1$

Основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\frac{x+1}{x-1} < 3^1$

$\frac{x+1}{x-1} - 3 < 0 \implies \frac{x+1 - 3(x-1)}{x-1} < 0 \implies \frac{x+1-3x+3}{x-1} < 0 \implies \frac{4-2x}{x-1} < 0$.

$\frac{2(2-x)}{x-1} < 0 \implies \frac{x-2}{x-1} > 0$.

Методом интервалов получаем $x \in (-\infty; 1) \cup (2; \infty)$.

Пересекая это решение с ОДЗ $x > 1$, получаем $x > 2$.

Ответ: $(2; \infty)$

3) $\log_{0,5} (\log_5 \frac{x-2}{x+2}) > \log_{0,5} 1$

Правая часть неравенства равна нулю: $\log_{0,5} 1 = 0$. Неравенство принимает вид:

$\log_{0,5} (\log_5 \frac{x-2}{x+2}) > 0$

Находим ОДЗ. Аргумент внешнего логарифма должен быть больше нуля:

$\log_5 \frac{x-2}{x+2} > 0$

Так как основание $5 > 1$, то $\frac{x-2}{x+2} > 5^0$, то есть $\frac{x-2}{x+2} > 1$.

$\frac{x-2}{x+2} - 1 > 0 \implies \frac{x-2 - (x+2)}{x+2} > 0 \implies \frac{-4}{x+2} > 0$.

Это выполняется, когда знаменатель отрицателен: $x+2 < 0 \implies x < -2$.

Аргумент внутреннего логарифма также должен быть положителен: $\frac{x-2}{x+2} > 0$, что верно при $x \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$.

Пересечение условий ОДЗ ($x < -2$ и $x \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$) дает ОДЗ: $x < -2$.

Решаем исходное неравенство. Основание $0,5 < 1$, поэтому знак меняется на противоположный:

$\log_5 \frac{x-2}{x+2} < 0,5^0$

$\log_5 \frac{x-2}{x+2} < 1$

Основание $5 > 1$, знак сохраняется:

$\frac{x-2}{x+2} < 5$

$\frac{x-2}{x+2} - 5 < 0 \implies \frac{x-2 - 5(x+2)}{x+2} < 0 \implies \frac{-4x - 12}{x+2} < 0$.

$\frac{-4(x+3)}{x+2} < 0 \implies \frac{x+3}{x+2} > 0$.

Методом интервалов получаем $x \in (-\infty; -3) \cup (-2; \infty)$.

Находим пересечение этого решения с ОДЗ $x < -2$. Получаем $x < -3$.

Ответ: $(-\infty; -3)$

4) $\log_{2,5} (\log_3 (9^x - 6)) > 0$

Найдем ОДЗ. Аргумент внешнего логарифма должен быть больше нуля:

$\log_3 (9^x - 6) > 0$

Основание $3 > 1$, поэтому $9^x - 6 > 3^0 \implies 9^x - 6 > 1 \implies 9^x > 7$.

Отсюда $x > \log_9 7$.

Аргумент внутреннего логарифма также должен быть больше нуля: $9^x - 6 > 0 \implies 9^x > 6 \implies x > \log_9 6$.

Так как $\log_9 7 > \log_9 6$, то ОДЗ: $x > \log_9 7$.

Решаем исходное неравенство. Основание $2,5 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\log_3 (9^x - 6) > 2,5^0$

$\log_3 (9^x - 6) > 1$

Основание $3 > 1$, знак сохраняется:

$9^x - 6 > 3^1$

$9^x > 9$

$9^x > 9^1 \implies x > 1$.

Теперь найдем пересечение полученного решения $x > 1$ с ОДЗ $x > \log_9 7$.

Сравним $1$ и $\log_9 7$. Представим $1$ как логарифм с основанием 9: $1 = \log_9 9$.

Поскольку $9 > 7$ и основание логарифма $9 > 1$, то $\log_9 9 > \log_9 7$, следовательно $1 > \log_9 7$.

Пересечением интервалов $x > 1$ и $x > \log_9 7$ является интервал $x > 1$.

Ответ: $(1; \infty)$

26.10. Найдите область определения функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = \sqrt{\log_{2.1} \frac{3x-1}{5-x} + \sqrt{x-4}}$;

2) $f(x) = \sqrt{-x^2 + 3x - 2 + \sqrt{\ln(x+x^2)}}$;

3) $f(x) = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}} (3x - 2) + \sqrt[4]{x+1}}$.

1) Область определения функции $f(x) = \sqrt{\log_{2,1} \frac{3x - 1}{5 - x}} + \sqrt{x - 4}$ находится из системы неравенств, так как подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным:

$\begin{cases} \log_{2,1} \frac{3x - 1}{5 - x} \ge 0 \\ x - 4 \ge 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$x - 4 \ge 0 \implies x \ge 4$.

Решим первое неравенство. Так как основание логарифма $2,1 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому неравенство равносильно следующему (при этом условие положительности аргумента логарифма выполняется автоматически):

$\frac{3x - 1}{5 - x} \ge 2,1^0$

$\frac{3x - 1}{5 - x} \ge 1$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{3x - 1}{5 - x} - 1 \ge 0$

$\frac{3x - 1 - (5 - x)}{5 - x} \ge 0$

$\frac{4x - 6}{5 - x} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$4x - 6 = 0 \implies x = \frac{6}{4} = 1,5$

$5 - x = 0 \implies x = 5$

Отметим точки $x=1,5$ (включительно) и $x=5$ (исключительно) на числовой оси и определим знаки выражения на получившихся интервалах. Для $x > 5$ выражение отрицательно. При переходе через точки знаки чередуются.

$(-\infty; 1,5] \implies -$

$[1,5; 5) \implies +$

$(5; +\infty) \implies -$

Нам нужен промежуток, где выражение неотрицательно, то есть $x \in [1,5; 5)$.

Теперь найдем пересечение решений системы:

$\begin{cases} x \in [1,5; 5) \\ x \ge 4 \end{cases}$

Пересечением этих множеств является промежуток $[4; 5)$.

Ответ: $D(f) = [4; 5)$.

2) Область определения функции $f(x) = \sqrt{-x^2 + 3x - 2} + \sqrt{\ln(x + x^2)}$ находится из системы неравенств:

$\begin{cases} -x^2 + 3x - 2 \ge 0 \\ \ln(x + x^2) \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$-x^2 + 3x - 2 \ge 0 \implies x^2 - 3x + 2 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Так как парабола $y = x^2 - 3x + 2$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $\le 0$ выполняется между корнями, включая их: $x \in [1; 2]$.

Решим второе неравенство. Основание натурального логарифма $e > 1$, поэтому функция возрастающая. Неравенство $\ln(x + x^2) \ge 0 = \ln(1)$ равносильно:

$x + x^2 \ge 1$

$x^2 + x - 1 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 1 = 0$ по формуле корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Парабола $y = x^2 + x - 1$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $\ge 0$ выполняется вне интервала между корнями:

$x \in (-\infty; \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; +\infty)$

Теперь найдем пересечение решений системы:

$\begin{cases} x \in [1; 2] \\ x \in (-\infty; \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; +\infty) \end{cases}$

Оценим значения корней: $\sqrt{5} \approx 2,236$.

$\frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1,618$.

$\frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0,618$.

Интервал $[1; 2]$ не пересекается с $(-\infty; \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}]$.

Найдем пересечение $[1; 2]$ и $[\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; +\infty)$. Так как $1 > 0,618$, то пересечением является сам интервал $[1; 2]$.

Ответ: $D(f) = [1; 2]$.

3) Область определения функции $f(x) = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(3x - 2)} + \sqrt[4]{x + 1}$ находится из системы неравенств, так как подкоренные выражения корней четной степени должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} \log_{\frac{1}{2}}(3x - 2) \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Решим первое неравенство. Оно равносильно системе, учитывающей, что аргумент логарифма должен быть строго положителен:

$\begin{cases} 3x - 2 > 0 \\ \log_{\frac{1}{2}}(3x - 2) \ge 0 \end{cases}$

Представим правую часть неравенства в виде логарифма: $0 = \log_{\frac{1}{2}}(1)$.

$\log_{\frac{1}{2}}(3x - 2) \ge \log_{\frac{1}{2}}(1)$

Так как основание логарифма $\frac{1}{2} < 1$, логарифмическая функция является убывающей, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$3x - 2 \le 1$

Теперь решим систему:

$\begin{cases} 3x - 2 > 0 \\ 3x - 2 \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x > 2 \\ 3x \le 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{2}{3} \\ x \le 1 \end{cases}$

Решением этой системы является полуинтервал $x \in (\frac{2}{3}; 1]$.

Найдем пересечение решений исходной системы:

$\begin{cases} x \in (\frac{2}{3}; 1] \\ x \ge -1 \end{cases}$

Так как $\frac{2}{3} > -1$, то пересечением является промежуток $(\frac{2}{3}; 1]$.

Ответ: $D(f) = (\frac{2}{3}; 1]$.

26.11. Укажите неравенство, в котором неверно выполнена замена первого выражения вторым:

1) $\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(x-1)+\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(x-2)>-2$, откуда следует $\begin{cases} (x-1)(x-2)>0, \\ (x-1)(x-2)<5; \end{cases}$

2) $3^{3x} - 4 \cdot 3^x < 0$, откуда следует $0 < x < \log_3 4$;

3) $\sqrt{\log_5(x-2)} > 2$, откуда следует $x - 2 > 625.$

Для того чтобы определить, в каком из пунктов замена выполнена неверно, проанализируем каждое преобразование. Фраза «откуда следует» означает логическую импликацию (следование). Преобразование будет неверным, если из истинности исходного неравенства не следует истинность второго выражения.

1) Рассмотрим переход от неравенства $\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(x-1) + \log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(x-2) > -2$ к системе $\begin{cases} (x-1)(x-2) > 0, \\ (x-1)(x-2) < 5; \end{cases}$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для исходного логарифмического неравенства. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:$\begin{cases} x-1 > 0 \\ x-2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > 2 \end{cases} \implies x > 2$.

На ОДЗ ($x>2$) мы можем использовать свойство суммы логарифмов:$\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}((x-1)(x-2)) > -2$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{\sqrt{5}}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. При потенцировании знак неравенства меняется на противоположный:$(x-1)(x-2) < \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-2}$.

Упростим правую часть: $\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-2} = (\sqrt{5})^2 = 5$.Получаем неравенство $(x-1)(x-2) < 5$.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:$\begin{cases} x > 2 \\ (x-1)(x-2) < 5 \end{cases}$.

Теперь проверим, следует ли из этой системы предложенная в задании система. Если $x>2$, то оба множителя $(x-1)$ и $(x-2)$ положительны, следовательно, их произведение $(x-1)(x-2)$ также положительно. Это означает, что условие $x>2$ является более строгим, чем $(x-1)(x-2)>0$. Любое решение исходного неравенства удовлетворяет условиям $x>2$ и $(x-1)(x-2)<5$, из которых, в свою очередь, следуют условия $(x-1)(x-2)>0$ и $(x-1)(x-2)<5$.Следовательно, импликация верна.

Ответ: замена выполнена корректно (в смысле логического следования).

2) Рассмотрим переход $3^{3x} - 4 \cdot 3^x < 0$, откуда следует $0 < x < \log_9 4$.

Решим исходное неравенство. Сделаем замену $y = 3^x$. Так как $3^x > 0$ при любом $x$, то $y > 0$.Неравенство принимает вид: $y^3 - 4y < 0$.

Разложим на множители: $y(y^2-4) < 0 \implies y(y-2)(y+2) < 0$.Решая это неравенство методом интервалов, получаем $y \in (-\infty, -2) \cup (0, 2)$.

Учитывая условие $y>0$, получаем $0 < y < 2$.Вернемся к переменной $x$: $0 < 3^x < 2$.Неравенство $3^x > 0$ верно для всех $x$.Решим неравенство $3^x < 2$. Логарифмируя по основанию 3 (основание больше 1, знак не меняется), получаем $x < \log_3 2$.Таким образом, решение исходного неравенства: $x \in (-\infty, \log_3 2)$.

Теперь рассмотрим предложенное следствие: $0 < x < \log_9 4$.Упростим правую границу: $\log_9 4 = \log_{3^2} 2^2 = \frac{2}{2}\log_3 2 = \log_3 2$.Предложенное решение: $0 < x < \log_3 2$.

Сравним истинное решение $x < \log_3 2$ с предложенным $0 < x < \log_3 2$.Утверждение «если $x < \log_3 2$, то $0 < x < \log_3 2$» является ложным. Например, значение $x = -1$ удовлетворяет исходному неравенству (так как $-1 < \log_3 2$ и $3^{-3} - 4 \cdot 3^{-1} = \frac{1}{27} - \frac{4}{3} < 0$), но не удовлетворяет следствию (так как $-1 < 0$).Следовательно, импликация неверна.

Ответ: замена выполнена неверно.

3) Рассмотрим переход $\sqrt{\log_5(x-2)} > 2$, откуда следует $x-2 > 625$.

Найдем ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:$\log_5(x-2) \ge 0$.

Так как основание логарифма 5 > 1, то $x-2 \ge 5^0 \implies x-2 \ge 1 \implies x \ge 3$.

Теперь решим само неравенство. Обе его части неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:$(\sqrt{\log_5(x-2)})^2 > 2^2$;$\log_5(x-2) > 4$.

Потенцируем по основанию 5:$x-2 > 5^4$;$x-2 > 625$.

Решение $x > 627$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 3$).Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству $x-2 > 625$.Преобразование является эквивалентным, следовательно, импликация верна.

Ответ: замена выполнена верно.

Таким образом, единственное неверное преобразование представлено в пункте 2.

26.12. Решите логарифмические неравенства и укажите два значения $x$, являющиеся решениями неравенства:

1) $\log_{0,1}(x - 2) - \lg x > \log_{0,1} 3;$

2) $\log_{0,5} x - \log_2(x - 3) < \log_{0,5} 4;$

3) $\log_{0,2} x - \log_5(x - 2) < \log_{0,2} 3;$

4) $\lg x - \log_{0,1}(x - 1) > \log_{0,1} 0,5.$

1) $\log_{0.1}(x-2) - \lg x > \log_{0.1} 3$

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть положительными:

$\begin{cases} x-2 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > 0 \end{cases} \implies x > 2$.

ОДЗ: $x \in (2, \infty)$.

2. Преобразуем неравенство, приведя все логарифмы к общему основанию. Учитывая, что $\lg x = \log_{10} x$, приведём всё к основанию 10.

Используем формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$:

$\log_{0.1}(x-2) = \frac{\lg(x-2)}{\lg(0.1)} = \frac{\lg(x-2)}{-1} = -\lg(x-2)$.

$\log_{0.1} 3 = \frac{\lg 3}{\lg(0.1)} = \frac{\lg 3}{-1} = -\lg 3$.

Подставим преобразованные выражения в исходное неравенство:

$-\lg(x-2) - \lg x > -\lg 3$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\lg(x-2) + \lg x < \lg 3$.

Используя свойство суммы логарифмов, получаем:

$\lg(x(x-2)) < \lg 3$.

3. Решим полученное неравенство. Так как основание логарифма $10 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$x(x-2) < 3 \implies x^2 - 2x - 3 < 0$.

Найдём корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Решением неравенства $(x+1)(x-3) < 0$ является интервал $(-1, 3)$.

4. Найдём пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} -1 < x < 3 \\ x > 2 \end{cases} \implies 2 < x < 3$.

Решением неравенства является интервал $(2, 3)$. Два значения $x$, являющиеся решениями: например, $x=2.5$ и $x=2.8$.

Ответ: $x \in (2, 3)$; примеры решений: $x=2.5, x=2.8$.

2) $\log_{0.5} x - \log_2(x-3) < \log_{0.5} 4$

1. Найдём ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ x-3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 3 \end{cases} \implies x > 3$.

ОДЗ: $x \in (3, \infty)$.

2. Приведём логарифмы к одному основанию 0.5. Используем свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:

$\log_2(x-3) = \log_{0.5^{-1}}(x-3) = -1 \cdot \log_{0.5}(x-3) = -\log_{0.5}(x-3)$.

Подставим в неравенство:

$\log_{0.5} x - (-\log_{0.5}(x-3)) < \log_{0.5} 4$

$\log_{0.5} x + \log_{0.5}(x-3) < \log_{0.5} 4$

$\log_{0.5}(x(x-3)) < \log_{0.5} 4$.

3. Решим неравенство. Так как основание логарифма $0.5 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак меняется на противоположный:

$x(x-3) > 4 \implies x^2 - 3x - 4 > 0$.

Найдём корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -1$, $x_2 = 4$.

Решением неравенства $(x+1)(x-4) > 0$ является объединение интервалов $(-\infty, -1) \cup (4, \infty)$.

4. Учитывая ОДЗ ($x > 3$), получаем окончательное решение:

$x \in (4, \infty)$.

Два значения $x$, являющиеся решениями неравенства: например, $x = 5$ и $x = 10$.

Ответ: $x \in (4, \infty)$; примеры решений: $x=5, x=10$.

3) $\log_{0.2} x - \log_5(x-2) < \log_{0.2} 3$

1. Найдём ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ x-2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 2 \end{cases} \implies x > 2$.

ОДЗ: $x \in (2, \infty)$.

2. Приведём логарифмы к основанию 0.2. Так как $0.2 = 1/5 = 5^{-1}$, то $\log_5(x-2) = \log_{0.2^{-1}}(x-2) = -\log_{0.2}(x-2)$.

Подставим в неравенство:

$\log_{0.2} x - (-\log_{0.2}(x-2)) < \log_{0.2} 3$

$\log_{0.2} x + \log_{0.2}(x-2) < \log_{0.2} 3$

$\log_{0.2}(x(x-2)) < \log_{0.2} 3$.

3. Решим неравенство. Основание логарифма $0.2 < 1$, поэтому функция убывающая. Меняем знак неравенства:

$x(x-2) > 3 \implies x^2 - 2x - 3 > 0$.

Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Решение неравенства $(x+1)(x-3) > 0$ есть $x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.

4. Учитывая ОДЗ ($x > 2$), получаем окончательное решение:

$x \in (3, \infty)$.

Два значения $x$, являющиеся решениями неравенства: например, $x = 4$ и $x = 6$.

Ответ: $x \in (3, \infty)$; примеры решений: $x=4, x=6$.

4) $\lg x - \log_{0.1}(x-1) > \log_{0.1} 0.5$

1. Найдём ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ x-1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 1 \end{cases} \implies x > 1$.

ОДЗ: $x \in (1, \infty)$.

2. Приведём логарифмы к основанию 0.1. Так как $\lg x = \log_{10} x$ и $10 = 0.1^{-1}$, то $\lg x = \log_{0.1^{-1}} x = -\log_{0.1} x$.

Подставим в неравенство:

$-\log_{0.1} x - \log_{0.1}(x-1) > \log_{0.1} 0.5$.

Вынесем минус за скобки и умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\log_{0.1} x + \log_{0.1}(x-1) < \log_{0.1} 0.5$

$\log_{0.1}(x(x-1)) < \log_{0.1} 0.5$.

3. Решим неравенство. Основание $0.1 < 1$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный:

$x(x-1) > 0.5 \implies x^2 - x - 0.5 > 0 \implies 2x^2 - 2x - 1 > 0$.

Найдём корни уравнения $2x^2 - 2x - 1 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = (-2)^2 - 4(2)(-1) = 4 + 8 = 12$.

$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$.

Решение неравенства есть $x \in (-\infty, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \infty)$.

4. Найдём пересечение полученного решения с ОДЗ ($x > 1$).

Так как $\frac{1 - \sqrt{3}}{2} < 0$ и $\frac{1 + \sqrt{3}}{2} \approx \frac{1+1.732}{2} \approx 1.366 > 1$, пересечением с интервалом $(1, \infty)$ будет $x \in (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \infty)$.

Два значения $x$, являющиеся решениями неравенства: например, $x = 2$ и $x = 3$.

Ответ: $x \in (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \infty)$; примеры решений: $x=2, x=3$.

Решите логарифмические неравенства (26.13–26.15):

26.13. 1) $(\log_2 x - 4)(5x^2 + x - 6) > 0;$2) $(\log_3 x + 3)(x^2 + 2x - 8) > 0;$

3) $\frac{2-x}{(x+4)\log_{0,3}(2x^2+6x+5)} < 0;$4) $\log_7\left(3 - \frac{1}{x-1}\right) + \log_7 \frac{1}{x} > 0.$

1) Решим неравенство $(\log_2 x - 4)(5x^2 + x - 6) > 0$ методом интервалов.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.

Далее найдем корни каждого множителя, чтобы определить точки смены знака.

1. $\log_2 x - 4 = 0 \implies \log_2 x = 4 \implies x = 2^4 = 16$.

2. $5x^2 + x - 6 = 0$. Найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.

$x_1 = \frac{-1 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{-12}{10} = -1.2$.

$x_2 = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$.

Теперь нанесем на числовую ось точки, в которых множители меняют знак, и учтем ОДЗ ($x>0$). Точка $x=-1.2$ не входит в ОДЗ. Таким образом, нас интересуют точки $x=1$ и $x=16$.

Получаем интервалы для проверки: $(0, 1)$, $(1, 16)$, $(16, +\infty)$.

- На интервале $(0, 1)$, возьмем $x=0.5$. Выражение $(\log_2 0.5 - 4)(5 \cdot 0.5^2 + 0.5 - 6) = (-1-4)(1.25-5.5) = (-5)(-4.25) > 0$. Интервал подходит.

- На интервале $(1, 16)$, возьмем $x=2$. Выражение $(\log_2 2 - 4)(5 \cdot 2^2 + 2 - 6) = (1-4)(20-4) = (-3)(16) < 0$. Интервал не подходит.

- На интервале $(16, +\infty)$, возьмем $x=32$. Выражение $(\log_2 32 - 4)(5 \cdot 32^2 + 32 - 6) = (5-4)(\text{положительное число}) > 0$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in (0, 1) \cup (16, +\infty)$.

2) Решим неравенство $(\log_3 x + 3)(x^2 + 2x - 8) > 0$ методом интервалов.

ОДЗ: $x > 0$.

Найдем нули каждого множителя:

1. $\log_3 x + 3 = 0 \implies \log_3 x = -3 \implies x = 3^{-3} = \frac{1}{27}$.

2. $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -4$, $x_2 = 2$.

Нанесем на числовую ось точки, входящие в ОДЗ: $\frac{1}{27}$ и $2$.

Получаем интервалы для проверки: $(0, \frac{1}{27})$, $(\frac{1}{27}, 2)$, $(2, +\infty)$.

- На интервале $(0, \frac{1}{27})$, возьмем $x=\frac{1}{81}$. Выражение $(\log_3 \frac{1}{81} + 3)((\frac{1}{81})^2 + 2(\frac{1}{81}) - 8) = (-4+3)(\text{отрицательное число}) > 0$. Интервал подходит.

- На интервале $(\frac{1}{27}, 2)$, возьмем $x=1$. Выражение $(\log_3 1 + 3)(1^2 + 2 - 8) = (3)(-5) < 0$. Интервал не подходит.

- На интервале $(2, +\infty)$, возьмем $x=3$. Выражение $(\log_3 3 + 3)(3^2 + 2 \cdot 3 - 8) = (1+3)(9+6-8) = (4)(7) > 0$. Интервал подходит.

Объединяем подходящие интервалы.

Ответ: $x \in (0, \frac{1}{27}) \cup (2, +\infty)$.

3) Решим неравенство $\frac{2-x}{(x+4)\log_{0.3}(2x^2+6x+5)} < 0$.

1. Найдем ОДЗ.

- Аргумент логарифма: $2x^2+6x+5 > 0$. Дискриминант $D=6^2-4 \cdot 2 \cdot 5 = 36-40=-4<0$. Так как старший коэффициент положителен ($2>0$), то $2x^2+6x+5$ всегда больше нуля.

- Знаменатель не должен быть равен нулю: $x+4 \neq 0 \implies x \neq -4$ и $\log_{0.3}(2x^2+6x+5) \neq 0$.

$\log_{0.3}(2x^2+6x+5) \neq 0 \implies 2x^2+6x+5 \neq 1 \implies 2x^2+6x+4 \neq 0 \implies x^2+3x+2 \neq 0$. Корни $x=-1, x=-2$. Таким образом, $x \neq -1$ и $x \neq -2$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, -2) \cup (-2, -1) \cup (-1, +\infty)$.

2. Решим неравенство обобщенным методом интервалов. Определим знаки каждого множителя.

- Нуль числителя: $2-x=0 \implies x=2$.

- Нули знаменателя: $x+4=0 \implies x=-4$; $x^2+3x+2=0 \implies x=-2, x=-1$.

- Знак $\log_{0.3}(2x^2+6x+5)$: основание $0.3<1$, значит логарифм положителен, когда $0 < 2x^2+6x+5 < 1$, что равносильно $x \in (-2, -1)$. Логарифм отрицателен, когда $2x^2+6x+5 > 1$, что равносильно $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, +\infty)$.

3. Разобьем числовую ось на интервалы точками $-4, -2, -1, 2$ и определим знак дроби.

- Интервал $(-\infty, -4)$: $\frac{(+)}{(-)(-)} = (+)$.

- Интервал $(-4, -2)$: $\frac{(+)}{(+)(-)} = (-)$. Подходит.

- Интервал $(-2, -1)$: $\frac{(+)}{(+)(+)} = (+)$. Не подходит.

- Интервал $(-1, 2)$: $\frac{(+)}{(+)(-)} = (-)$. Подходит.

- Интервал $(2, +\infty)$: $\frac{(-)}{(+)(-)} = (+)$. Не подходит.

Ответ: $x \in (-4, -2) \cup (-1, 2)$.

4) Решим неравенство $\log_7(3 - \frac{1}{x-1}) + \log_7 \frac{1}{x} > 0$.

1. Найдем ОДЗ из системы условий:

$\begin{cases} 3 - \frac{1}{x-1} > 0 \\ \frac{1}{x} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \frac{3(x-1)-1}{x-1} > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \frac{3x-4}{x-1} > 0 \\ x > 0 \end{cases}$.

Решение первого неравенства $\frac{3x-4}{x-1} > 0$ методом интервалов дает $x \in (-\infty, 1) \cup (\frac{4}{3}, +\infty)$.

Пересекая с условием $x > 0$, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (\frac{4}{3}, +\infty)$.

2. Используя свойство логарифмов, преобразуем неравенство:

$\log_7 \left( \left(3 - \frac{1}{x-1}\right) \cdot \frac{1}{x} \right) > 0$.

Представим $0$ как $\log_7 1$: $\log_7 \left( \frac{3x-4}{x-1} \cdot \frac{1}{x} \right) > \log_7 1$.

Так как основание $7>1$, знак неравенства сохраняется при переходе к аргументам:

$\frac{3x-4}{x(x-1)} > 1 \implies \frac{3x-4}{x(x-1)} - 1 > 0 \implies \frac{3x-4 - x(x-1)}{x(x-1)} > 0$.

$\frac{3x-4-x^2+x}{x(x-1)} > 0 \implies \frac{-x^2+4x-4}{x(x-1)} > 0$.

Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства: $\frac{x^2-4x+4}{x(x-1)} < 0 \implies \frac{(x-2)^2}{x(x-1)} < 0$.

3. Числитель $(x-2)^2 \ge 0$. Чтобы дробь была отрицательной, знаменатель должен быть отрицательным, а числитель не должен быть равен нулю, т.е. $x \neq 2$.

$x(x-1) < 0$. Это выполняется на интервале $x \in (0, 1)$.

4. Пересечем полученное решение $x \in (0, 1)$ с ОДЗ $x \in (0, 1) \cup (\frac{4}{3}, +\infty)$.

Пересечением является интервал $(0, 1)$.

Ответ: $x \in (0, 1)$.