Номер 26.3, страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

26.3.1) $ \log_2(2x - 1) > \log_2(x + 1) $

2) $ \log_5(3x + 1) > \log_5(x - 2) $

3) $ \log_{\frac{1}{7}}(12 - x) > -2 $

4) $ \log_{0.2}(x - 2) > \log_{0.2}(3 - x) $

1) Решим неравенство $\log_2(2x-1) > \log_2(x+1)$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

$\begin{cases} 2x-1 > 0 \\ x+1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x > 1 \\ x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1/2 \\ x > -1 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 1/2$.

Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция логарифма является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$2x - 1 > x + 1$

$2x - x > 1 + 1$

$x > 2$

Совместим полученное решение с ОДЗ: $x > 2$ и $x > 1/2$. Общим решением является $x > 2$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

2) Решим неравенство $\log_5(3x+1) > \log_5(x-2)$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3x+1 > 0 \\ x-2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x > -1 \\ x > 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1/3 \\ x > 2 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 2$.

Основание логарифма $5 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$3x + 1 > x - 2$

$3x - x > -2 - 1$

$2x > -3$

$x > -3/2$

Совмещая с ОДЗ ($x > 2$), получаем итоговое решение $x > 2$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

3) Решим неравенство $\log_{1/7}(12-x) > -2$.

Найдем ОДЗ: $12 - x > 0 \implies x < 12$.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием $1/7$:

$-2 = -2 \cdot \log_{1/7}(1/7) = \log_{1/7}((1/7)^{-2}) = \log_{1/7}(7^2) = \log_{1/7}(49)$.

Неравенство принимает вид: $\log_{1/7}(12-x) > \log_{1/7}(49)$.

Так как основание логарифма $1/7 < 1$, функция логарифма является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$12 - x < 49$

$-x < 49 - 12$

$-x < 37$

$x > -37$

Совместим полученное решение с ОДЗ: $x < 12$ и $x > -37$.

Ответ: $x \in (-37; 12)$.

4) Решим неравенство $\log_{0.2}(x-2) > \log_{0.2}(3-x)$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x-2 > 0 \\ 3-x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x < 3 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $2 < x < 3$.

Основание логарифма $0.2 < 1$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$x - 2 < 3 - x$

$x + x < 3 + 2$

$2x < 5$

$x < 2.5$

Совместим полученное решение с ОДЗ: $2 < x < 3$ и $x < 2.5$. Общим решением является $2 < x < 2.5$.

Ответ: $x \in (2; 2.5)$.