Номер 26.4, страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

26.4.1) $log^2_2 x + log_2 x - 2 < 0;$

2) $log^2_{0.2} x - 5log_{0.2} x < -6;$

3) $log^2_{0.1} x + 3log_{0.1} x > 4;$

4) $2 - lg^2 x > lg x.$

1) Исходное неравенство: $log_2^2x + log_2x - 2 < 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, поэтому $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = log_2x$. Тогда неравенство принимает вид:

$t^2 + t - 2 < 0$

Это квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 + t - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = -2$ и $t_2 = 1$.

Так как ветви параболы $y = t^2 + t - 2$ направлены вверх, неравенство $t^2 + t - 2 < 0$ выполняется между корнями:

$-2 < t < 1$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, сделав обратную замену:

$-2 < log_2x < 1$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} log_2x > -2 \\ log_2x < 1 \end{cases}$

Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y=log_2x$ является возрастающей, поэтому знаки неравенств сохраняются:

$\begin{cases} x > 2^{-2} \\ x < 2^1 \end{cases}$

$\begin{cases} x > \frac{1}{4} \\ x < 2 \end{cases}$

Получаем интервал $x \in (\frac{1}{4}; 2)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $x \in (\frac{1}{4}; 2)$.

2) Исходное неравенство: $log_{0.2}^2x - 5log_{0.2}x < -6$.

Перенесем все члены в левую часть: $log_{0.2}^2x - 5log_{0.2}x + 6 < 0$.

ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = log_{0.2}x$.

$t^2 - 5t + 6 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Ветви параболы $y = t^2 - 5t + 6$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями:

$2 < t < 3$

Сделаем обратную замену:

$2 < log_{0.2}x < 3$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} log_{0.2}x > 2 \\ log_{0.2}x < 3 \end{cases}$

Так как основание логарифма $0.2 < 1$, функция $y=log_{0.2}x$ является убывающей, поэтому знаки неравенств меняются на противоположные:

$\begin{cases} x < 0.2^2 \\ x > 0.2^3 \end{cases}$

$\begin{cases} x < 0.04 \\ x > 0.008 \end{cases}$

Получаем интервал $x \in (0.008; 0.04)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $x \in (0.008; 0.04)$.

3) Исходное неравенство: $log_{0.1}^2x + 3log_{0.1}x > 4$.

Перенесем все члены в левую часть: $log_{0.1}^2x + 3log_{0.1}x - 4 > 0$.

ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = log_{0.1}x$.

$t^2 + 3t - 4 > 0$

Найдем корни уравнения $t^2 + 3t - 4 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = -4$ и $t_2 = 1$.

Ветви параболы $y = t^2 + 3t - 4$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями:

$t < -4$ или $t > 1$.

Сделаем обратную замену и решим совокупность двух неравенств:

$log_{0.1}x < -4$ или $log_{0.1}x > 1$.

Так как основание логарифма $0.1 < 1$, функция $y=log_{0.1}x$ является убывающей, поэтому знаки неравенств меняются на противоположные:

$x > 0.1^{-4}$ или $x < 0.1^1$.

$x > (\frac{1}{10})^{-4}$ или $x < 0.1$.

$x > 10^4$ или $x < 0.1$.

$x > 10000$ или $x < 0.1$.

Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем два интервала: $(0; 0.1)$ и $(10000; +\infty)$.

Ответ: $x \in (0; 0.1) \cup (10000; +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $2 - lg^2x > lgx$.

Перенесем все члены в одну часть и упорядочим их: $lg^2x + lgx - 2 < 0$. (Напомним, что $lgx$ это $log_{10}x$).

ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = lgx$.

$t^2 + t - 2 < 0$

Это такое же квадратное неравенство, как и в первом задании. Его решение: $-2 < t < 1$.

Сделаем обратную замену:

$-2 < lgx < 1$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} lgx > -2 \\ lgx < 1 \end{cases}$

Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, функция $y=lgx$ является возрастающей, поэтому знаки неравенств сохраняются:

$\begin{cases} x > 10^{-2} \\ x < 10^1 \end{cases}$

$\begin{cases} x > 0.01 \\ x < 10 \end{cases}$

Получаем интервал $x \in (0.01; 10)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $x \in (0.01; 10)$.