Номер 26.17, страница 203 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

26.17. 1) $f(x) = \frac{15+x^2}{\sqrt{\log_{\frac{1}{4}}(5x-x^2)-1}};$

2) $f(x) = \frac{\sqrt{17+15x-2x^2}}{\log_x(x+3)}.$

1) Область определения функции $f(x) = \frac{15 + x^2}{\sqrt{\log_{\frac{1}{4}}(5x - x^2) - 1}}$ задается условием, при котором выражение, стоящее под знаком корня в знаменателе, строго больше нуля. Числитель $15+x^2$ определен и положителен при любом $x$.

Итак, решаем неравенство:

$\log_{\frac{1}{4}}(5x - x^2) - 1 > 0$

$\log_{\frac{1}{4}}(5x - x^2) > 1$

Представим 1 в виде логарифма с основанием $\frac{1}{4}$: $1 = \log_{\frac{1}{4}}(\frac{1}{4})$.

$\log_{\frac{1}{4}}(5x - x^2) > \log_{\frac{1}{4}}(\frac{1}{4})$

Так как основание логарифма $a = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный. Также необходимо учесть, что аргумент логарифма должен быть строго положительным.

Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} 5x - x^2 > 0 \\ 5x - x^2 < \frac{1}{4} \end{cases}$

Решим первое неравенство: $5x - x^2 > 0 \implies x(5-x) > 0$. Корни $x=0$ и $x=5$. Ветви параболы $y=-x^2+5x$ направлены вниз, значит, решение неравенства: $x \in (0; 5)$.

Решим второе неравенство: $5x - x^2 < \frac{1}{4} \implies 0 < x^2 - 5x + \frac{1}{4}$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + \frac{1}{4} = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4} = 25 - 1 = 24$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{5 \pm 2\sqrt{6}}{2}$.

Ветви параболы $y=x^2 - 5x + \frac{1}{4}$ направлены вверх, значит, решение неравенства $x^2 - 5x + \frac{1}{4} > 0$ есть объединение интервалов: $x \in (-\infty; \frac{5 - 2\sqrt{6}}{2}) \cup (\frac{5 + 2\sqrt{6}}{2}; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(0; 5) \cap ((-\infty; \frac{5 - 2\sqrt{6}}{2}) \cup (\frac{5 + 2\sqrt{6}}{2}; +\infty))$.

Заметим, что $4 < 24 < 25$, значит $2 < \sqrt{24} < 5$. Точнее, $\sqrt{24} \approx 4.9$.

$\frac{5 - 2\sqrt{6}}{2} \approx \frac{5 - 4.9}{2} = 0.05$, что принадлежит интервалу $(0; 5)$.

$\frac{5 + 2\sqrt{6}}{2} \approx \frac{5 + 4.9}{2} = 4.95$, что также принадлежит интервалу $(0; 5)$.

Следовательно, итоговое решение — это объединение интервалов, которые являются пересечением указанных множеств.

Ответ: $x \in (0; \frac{5 - 2\sqrt{6}}{2}) \cup (\frac{5 + 2\sqrt{6}}{2}; 5)$

2) Для нахождения области определения функции $f(x) = \frac{\sqrt{17 + 15x - 2x^2}}{\log_x(x + 3)}$ необходимо, чтобы выполнялась система условий:

1. Выражение под корнем неотрицательно: $17 + 15x - 2x^2 \ge 0$.

2. Знаменатель не равен нулю: $\log_x(x + 3) \neq 0$.

3. Аргумент логарифма положителен: $x + 3 > 0$.

4. Основание логарифма положительно и не равно единице: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Рассмотрим каждое условие по отдельности:

1) $17 + 15x - 2x^2 \ge 0 \implies 2x^2 - 15x - 17 \le 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 - 15x - 17 = 0$.

Дискриминант $D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-17) = 225 + 136 = 361 = 19^2$.

Корни: $x_1 = \frac{15 - 19}{4} = -1$, $x_2 = \frac{15 + 19}{4} = \frac{34}{4} = 8.5$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in [-1; 8.5]$.

2) $\log_x(x + 3) \neq 0 \implies x+3 \neq x^0 \implies x+3 \neq 1 \implies x \neq -2$.

3) $x + 3 > 0 \implies x > -3$.

4) $x > 0$ и $x \neq 1$.

Теперь найдем пересечение всех полученных множеств:

$x \in [-1; 8.5] \cap (-3; +\infty) \cap (0; +\infty) \setminus \{1, -2\}$.

Пересечение $[-1; 8.5]$ и $(-3; +\infty)$ дает $[-1; 8.5]$.

Пересечение $[-1; 8.5]$ и $(0; +\infty)$ дает $(0; 8.5]$.

Из полученного интервала $(0; 8.5]$ нужно исключить точки $x=1$ и $x=-2$. Точка $x=-2$ не входит в интервал. Исключаем $x=1$.

В итоге получаем объединение интервалов $(0; 1) \cup (1; 8.5]$.

Ответ: $x \in (0; 1) \cup (1; 8.5]$