Номер 14, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

14. В начале рабочего дня Шолпан, Айгуль и Раушан получили одинаковые заказы на изготовление салфеток. Айгуль может выполнить это задание за 8 ч, Шолпан за 9 ч, а Раушан за 12 часов. Мастер поручил объединить заказы и выполнить всю работу за 8 ч к концу рабочего дня. Найдите совместную производительность в час. Смогут ли они выполнить эту работу за 8 часов:

A) $\frac{25}{72}$, нет;

B) $\frac{23}{72}$, нет;

C) $\frac{23}{72}$, да;

D) $\frac{25}{72}$, да;

E) $\frac{7}{36}$, нет?

Для решения задачи сначала определим производительность каждой работницы, затем их совместную производительность, и, наконец, проверим, хватит ли им 8 часов на выполнение всей работы.

Найдите совместную производительность в час

Примем объем одного заказа за 1 единицу. Производительность — это объем работы, выполняемый за единицу времени (1 час).

1. Производительность Айгуль, которая выполняет заказ за 8 часов, составляет $P_А = \frac{1}{8}$ заказа в час.

2. Производительность Шолпан, которая выполняет заказ за 9 часов, составляет $P_Ш = \frac{1}{9}$ заказа в час.

3. Производительность Раушан, которая выполняет заказ за 12 часов, составляет $P_Р = \frac{1}{12}$ заказа в час.

Совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей:

$P_{совм} = P_А + P_Ш + P_Р = \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{12}$

Чтобы сложить дроби, найдем наименьший общий знаменатель для 8, 9 и 12. Это число 72.

$P_{совм} = \frac{1 \cdot 9}{72} + \frac{1 \cdot 8}{72} + \frac{1 \cdot 6}{72} = \frac{9 + 8 + 6}{72} = \frac{23}{72}$

Таким образом, совместная производительность составляет $\frac{23}{72}$ заказа в час.

Ответ: $\frac{23}{72}$

Смогут ли они выполнить эту работу за 8 часов

По условию, заказы были объединены. Поскольку каждая из трех работниц получила по одному заказу, общий объем работы составляет $1 + 1 + 1 = 3$ заказа.

Чтобы узнать, смогут ли они выполнить 3 заказа за 8 часов, определим, какой объем работы они выполнят за это время при совместной производительности $\frac{23}{72}$ заказа в час.

Объем работы = Производительность $\times$ Время

Объем работы за 8 часов = $\frac{23}{72} \cdot 8 = \frac{23 \cdot 8}{72} = \frac{23}{9}$

Теперь нужно сравнить выполненный объем работы ($\frac{23}{9}$ заказа) с общим объемом работы (3 заказа).

$\frac{23}{9} = 2 \frac{5}{9}$

Поскольку $2 \frac{5}{9} < 3$, работницы не смогут выполнить всю работу за 8 часов. Им не хватит времени.

Альтернативный расчет: найдем время, необходимое для выполнения 3 заказов.

Время = Объем работы / Производительность

$T = \frac{3}{\frac{23}{72}} = 3 \cdot \frac{72}{23} = \frac{216}{23} \approx 9.39$ часов.

Так как $9.39$ ч $> 8$ ч, они не успеют.

Ответ: нет

Таким образом, совместная производительность равна $\frac{23}{72}$, и они не смогут выполнить работу за 8 часов. Это соответствует варианту B).