Номер 8, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

8. Составьте уравнение касательной к графику функции $y = xe^{-3x} + 4$ в точке с абсциссой $x = -1$:

A) $y = 4e^3x + 3e^3 + 4$;

B) $y = 2e^3x + 3e^3$;

C) $y = 4e^3x - 5e^3 + 4$;

D) $y = e^3x + 3e^3 - 4$.

Для того чтобы составить уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, необходимо использовать следующую формулу:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В нашем случае дана функция $f(x) = xe^{-3x} + 4$ и абсцисса точки касания $x_0 = -1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$. Это будет ордината точки касания.

$f(-1) = (-1) \cdot e^{-3(-1)} + 4 = -1 \cdot e^3 + 4 = 4 - e^3$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правилом дифференцирования сложной функции.

$f'(x) = (xe^{-3x} + 4)' = (xe^{-3x})' + (4)'$.

Производная первого слагаемого: $(xe^{-3x})' = (x)' \cdot e^{-3x} + x \cdot (e^{-3x})' = 1 \cdot e^{-3x} + x \cdot (e^{-3x} \cdot (-3)) = e^{-3x} - 3xe^{-3x}$.

Производная второго слагаемого (константы): $(4)' = 0$.

Таким образом, производная всей функции равна:

$f'(x) = e^{-3x} - 3xe^{-3x} = e^{-3x}(1 - 3x)$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$. Это значение является угловым коэффициентом касательной.

$f'(-1) = e^{-3(-1)}(1 - 3(-1)) = e^3(1 + 3) = 4e^3$.

4. Теперь у нас есть все необходимые компоненты: $x_0 = -1$, $f(x_0) = 4 - e^3$ и $f'(x_0) = 4e^3$. Подставим их в формулу уравнения касательной:

$y = (4 - e^3) + 4e^3(x - (-1))$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = 4 - e^3 + 4e^3(x + 1)$

$y = 4 - e^3 + 4e^3x + 4e^3$

Приведем подобные члены:

$y = 4e^3x + (4e^3 - e^3) + 4$

$y = 4e^3x + 3e^3 + 4$

Сравнивая полученное уравнение с предложенными вариантами, мы видим, что оно соответствует варианту A.

Ответ: A) $y = 4e^3x + 3e^3 + 4$