Номер 13, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

$y = 0,5^x$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 2$:

A) $2\ln2 + 0,75$;

B) $\frac{2 \ln 2 + 1}{4 \ln 2}$;

C) $\frac{1}{4 \ln 2}$;

D) $\frac{\ln 4 - 1}{4 \ln 2}$.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$, используется определенный интеграл. Формула для вычисления площади криволинейной трапеции имеет вид:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

В данном случае заданы следующие линии:

• $y = 0,5^x$ (это наша функция $f(x)$)
• $y = 0$ (ось Ox)
• $x = 1$ (нижний предел интегрирования $a$)
• $x = 2$ (верхний предел интегрирования $b$)

Таким образом, нам необходимо вычислить следующий определенный интеграл:

$S = \int_{1}^{2} 0,5^x \,dx$

Для нахождения этого интеграла воспользуемся табличной формулой для первообразной показательной функции $\int a^x \,dx = \frac{a^x}{\ln a}$. В нашем случае $a = 0,5$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$:

$S = \left. \frac{0,5^x}{\ln 0,5} \right|_{1}^{2} = \frac{0,5^2}{\ln 0,5} - \frac{0,5^1}{\ln 0,5}$

Выполним вычисления:

$S = \frac{0,25 - 0,5}{\ln 0,5} = \frac{-0,25}{\ln 0,5}$

Теперь упростим знаменатель. Используя свойство логарифма $\ln(\frac{1}{c}) = \ln(c^{-1}) = -\ln c$, получим:

$\ln 0,5 = \ln \frac{1}{2} = -\ln 2$

Подставим это значение обратно в выражение для площади:

$S = \frac{-0,25}{-\ln 2} = \frac{0,25}{\ln 2}$

Осталось представить десятичную дробь 0,25 в виде обыкновенной дроби: $0,25 = \frac{1}{4}$.

$S = \frac{1/4}{\ln 2} = \frac{1}{4 \ln 2}$

Этот результат соответствует варианту ответа C).

Ответ: C) $\frac{1}{4 \ln 2}$