Номер 9.259, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.259. Если разделить двузначное число на сумму его цифр, то в частном получим 4 и в остатке 3. Если же разделить это число на произведение его цифр, то в частном получим 3, а в остатке 5. Найдите это число.

Пусть искомое двузначное число можно представить как $10a + b$, где $\text{a}$ — цифра десятков, а $\text{b}$ — цифра единиц. По условию, $a \in \{1, 2, ..., 9\}$ и $b \in \{0, 1, ..., 9\}$.

Из первого условия задачи следует, что при делении числа на сумму его цифр ($a+b$) получается частное 4 и остаток 3. Это можно записать в виде уравнения: $10a + b = 4 \cdot (a + b) + 3$. Также, по определению деления с остатком, остаток должен быть меньше делителя, то есть $3 < a + b$.

Из второго условия, при делении числа на произведение его цифр ($a \cdot b$) получается частное 3 и остаток 5. Это дает нам второе уравнение: $10a + b = 3 \cdot (a \cdot b) + 5$. Здесь также остаток меньше делителя: $5 < a \cdot b$. Это означает, что ни $\text{a}$, ни $\text{b}$ не могут быть равны нулю, поэтому $b \in \{1, 2, ..., 9\}$.

Составим систему уравнений и решим ее. Сначала упростим первое уравнение: $10a + b = 4a + 4b + 3$ $10a - 4a = 4b - b + 3$ $6a = 3b + 3$ Разделим обе части на 3: $2a = b + 1$, откуда $b = 2a - 1$.

Теперь подставим выражение для $\text{b}$ во второе уравнение $10a + b = 3ab + 5$: $10a + (2a - 1) = 3a(2a - 1) + 5$ $12a - 1 = 6a^2 - 3a + 5$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $6a^2 - 3a - 12a + 5 + 1 = 0$ $6a^2 - 15a + 6 = 0$ Для упрощения разделим все уравнение на 3: $2a^2 - 5a + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $\text{a}$, используя формулу для корней: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$ $a = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$

Получаем два возможных корня: $a_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$ $a_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$ Поскольку $\text{a}$ — это цифра десятков, она должна быть целым числом от 1 до 9. Следовательно, нам подходит только $a = 2$.

Теперь, зная $\text{a}$, найдем $\text{b}$ из соотношения $b = 2a - 1$: $b = 2 \cdot 2 - 1 = 4 - 1 = 3$

Таким образом, искомое число состоит из цифр $a=2$ и $b=3$. Это число 23.

Проверим найденное решение. Число: 23. 1) Сумма цифр: $2+3=5$. Делим 23 на 5: $23 = 4 \cdot 5 + 3$. Частное 4, остаток 3. Условие выполнено. 2) Произведение цифр: $2 \cdot 3=6$. Делим 23 на 6: $23 = 3 \cdot 6 + 5$. Частное 3, остаток 5. Условие выполнено. Все условия задачи соблюдены.

Ответ: 23.