Номер 9.255, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.255. Имеются два сплава цинка и никеля. В первом сплаве отношение этих металлов равно $2:3$, а во втором - $3:7$. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором отношение цинка и никеля равно $5:11$?

Пусть $\text{x}$ кг — масса первого сплава, а $\text{y}$ кг — масса второго сплава, которые нужно взять для получения нового сплава.

По условию, масса нового сплава составляет 8 кг, значит, мы можем составить первое уравнение:

$x + y = 8$

Теперь определим концентрацию (массовую долю) цинка в каждом сплаве.

В первом сплаве отношение цинка к никелю равно 2:3. Это означает, что на 2 части цинка приходится 3 части никеля. Всего частей: $2+3=5$. Массовая доля цинка в первом сплаве составляет $2/5$.

Во втором сплаве отношение цинка к никелю равно 3:7. Всего частей: $3+7=10$. Массовая доля цинка во втором сплаве составляет $3/10$.

В новом сплаве отношение цинка к никелю должно быть 5:11. Всего частей: $5+11=16$. Массовая доля цинка в новом сплаве составляет $5/16$.

Масса цинка в $\text{x}$ кг первого сплава равна $2/5 \cdot x$ кг.

Масса цинка в $\text{y}$ кг второго сплава равна $3/10 \cdot y$ кг.

Масса цинка в 8 кг нового сплава равна $5/16 \cdot 8$ кг.

Составим второе уравнение, исходя из массы цинка:

$\frac{2}{5}x + \frac{3}{10}y = \frac{5}{16} \cdot 8$

Упростим правую часть уравнения:

$\frac{5}{16} \cdot 8 = \frac{40}{16} = \frac{5}{2}$

Получаем уравнение:

$\frac{2}{5}x + \frac{3}{10}y = \frac{5}{2}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 10:

$10 \cdot (\frac{2}{5}x) + 10 \cdot (\frac{3}{10}y) = 10 \cdot (\frac{5}{2})$

$4x + 3y = 25$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 8 \\ 4x + 3y = 25 \end{cases}$

Выразим $\text{y}$ из первого уравнения: $y = 8 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$4x + 3(8 - x) = 25$

$4x + 24 - 3x = 25$

$x + 24 = 25$

$x = 1$

Теперь найдем $\text{y}$:

$y = 8 - x = 8 - 1 = 7$

Таким образом, для получения нового сплава нужно взять 1 кг первого сплава и 7 кг второго сплава.

Ответ: нужно взять 1 кг первого сплава и 7 кг второго сплава.