Номер 9.251, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.251. Для перевозки 60 т груза заказали определенное количество грузовых автомобилей. В связи с тем, что на каждую машину погрузили на 0,5 т меньше запланированного, дополнительно было затребовано еще 4 машины. Сколько машин было запланировано первоначально?

Пусть $\text{x}$ — количество машин, которое было запланировано первоначально, а $\text{y}$ — количество тонн груза, которое планировалось погрузить на одну машину.

По условию, для перевозки 60 т груза было запланировано $\text{x}$ машин, каждая из которых должна была перевезти $\text{y}$ тонн. Таким образом, можно составить первое уравнение:

$x \cdot y = 60$

В действительности на каждую машину погрузили на 0,5 т меньше, то есть $y - 0,5$ т. При этом потребовалось на 4 машины больше, то есть $x + 4$ машин. Общий вес груза остался прежним, 60 т. Составим второе уравнение:

$(x + 4)(y - 0,5) = 60$

Получим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x \cdot y = 60 \\ (x + 4)(y - 0,5) = 60 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $\text{y}$ через $\text{x}$:

$y = \frac{60}{x}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(x + 4)(\frac{60}{x} - 0,5) = 60$

Раскроем скобки:

$x \cdot \frac{60}{x} - x \cdot 0,5 + 4 \cdot \frac{60}{x} - 4 \cdot 0,5 = 60$

$60 - 0,5x + \frac{240}{x} - 2 = 60$

Вычтем 60 из обеих частей уравнения:

$-0,5x + \frac{240}{x} - 2 = 0$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим все уравнение на $\text{x}$ (поскольку $\text{x}$ — количество машин, $x \neq 0$):

$-0,5x^2 + 240 - 2x = 0$

Умножим все уравнение на -2, чтобы избавиться от дробного и отрицательного коэффициента при $x^2$:

$x^2 + 4x - 480 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 16 + 1920 = 1936$

$\sqrt{D} = \sqrt{1936} = 44$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 44}{2 \cdot 1} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 44}{2 \cdot 1} = \frac{-48}{2} = -24$

Поскольку $\text{x}$ обозначает количество машин, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, единственный подходящий корень — $x = 20$.

Таким образом, первоначально было запланировано 20 машин.

Ответ: 20 машин.