Номер 9.247, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.244-9.247 найдите объем тела, полученного вращением данной кривой вокруг оси Ох.

9.247. $y = \sin x, x \in \left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$.

9.247. Для нахождения объема тела, образованного вращением кривой $y = f(x)$ вокруг оси $Ox$ на отрезке $[a, b]$, используется формула:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

В нашем случае дана кривая $y = \sin x$ на отрезке $x \in [\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$.

Подставим данные в формулу:

$V = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} (\sin x)^2 dx = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \sin^2 x \, dx$

Для вычисления интеграла воспользуемся формулой понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

$V = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx = \frac{\pi}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} (1 - \cos(2x)) dx$

Найдем первообразную для подынтегрального выражения. Интеграл от 1 равен $\text{x}$, а интеграл от $\cos(2x)$ равен $\frac{1}{2}\sin(2x)$.

$\int (1 - \cos(2x)) dx = x - \frac{\sin(2x)}{2}$

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$V = \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{\sin(2x)}{2} \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}$

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

$V = \frac{\pi}{2} \left( \left(\frac{3\pi}{4} - \frac{\sin(2 \cdot \frac{3\pi}{4})}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4})}{2}\right) \right)$

$V = \frac{\pi}{2} \left( \left(\frac{3\pi}{4} - \frac{\sin(\frac{3\pi}{2})}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{2}\right) \right)$

Зная, что $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$ и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$V = \frac{\pi}{2} \left( \left(\frac{3\pi}{4} - \frac{-1}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\right) \right)$

$V = \frac{\pi}{2} \left( \frac{3\pi}{4} + \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \right)$

Сгруппируем слагаемые:

$V = \frac{\pi}{2} \left( \left(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) \right)$

$V = \frac{\pi}{2} \left( \frac{2\pi}{4} + 1 \right) = \frac{\pi}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 1 \right)$

Раскроем скобки:

$V = \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi}{2}$

Ответ: $\frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi}{2}$