Номер 9.240, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.233-9.243 найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной данными линиями, и выполните соответствующий чертеж.

9.240. $f(x) = 6 + 3x - 2x^2$, $g(x) = x + 2$.

9.240. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций $f(x) = 6 + 3x - 2x^2$ и $g(x) = x + 2$, вычисляется как определенный интеграл от разности этих функций. Пределами интегрирования являются абсциссы точек пересечения графиков.

1. Найдем пределы интегрирования.

Для этого приравняем функции $f(x)$ и $g(x)$ и найдем точки их пересечения: $6 + 3x - 2x^2 = x + 2$ Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $2x^2 - 2x - 4 = 0$ Разделим обе части уравнения на 2: $x^2 - x - 2 = 0$ Решим уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$. Таким образом, пределы интегрирования от $a = -1$ до $b = 2$.

2. Определим, какая функция больше на интервале $[-1, 2]$.

Возьмем любую точку из интервала $(-1, 2)$, например, $x = 0$: $f(0) = 6 + 3(0) - 2(0)^2 = 6$ $g(0) = 0 + 2 = 2$ Поскольку $f(0) > g(0)$, на всем интервале $[-1, 2]$ график функции $f(x)$ (парабола) находится выше графика функции $g(x)$ (прямая).

3. Вычислим площадь.

Площадь $\text{S}$ фигуры равна интегралу от разности $f(x) - g(x)$ в пределах от -1 до 2: $S = \int_{-1}^{2} (f(x) - g(x)) dx = \int_{-1}^{2} ((6 + 3x - 2x^2) - (x + 2)) dx$ Упростим подынтегральное выражение: $S = \int_{-1}^{2} (4 + 2x - 2x^2) dx$ Теперь найдем первообразную по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \left[ 4x + 2\frac{x^2}{2} - 2\frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} = \left[ 4x + x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right]_{-1}^{2}$ Подставим верхний и нижний пределы интегрирования: $S = \left(4(2) + (2)^2 - \frac{2}{3}(2)^3\right) - \left(4(-1) + (-1)^2 - \frac{2}{3}(-1)^3\right)$ $S = \left(8 + 4 - \frac{16}{3}\right) - \left(-4 + 1 + \frac{2}{3}\right)$ $S = \left(12 - \frac{16}{3}\right) - \left(-3 + \frac{2}{3}\right)$ $S = \left(\frac{36 - 16}{3}\right) - \left(\frac{-9 + 2}{3}\right)$ $S = \frac{20}{3} - \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = \frac{27}{3} = 9$

4. Чертеж.

График функции $y = 6 + 3x - 2x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. График функции $y = x + 2$ — это прямая линия. Фигура, площадь которой мы ищем, заключена между параболой (сверху) и прямой (снизу) на отрезке $x \in [-1, 2]$. Точки пересечения графиков: $(-1, 1)$ и $(2, 4)$.

Ответ: $\text{9}$