Номер 9.236, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.233-9.243 найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной данными линиями, и выполните соответствующий чертеж.

9.236. $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$, $x=0$, $x=1$, $y=0$.

9.236. Требуется найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$, $x=0$, $x=1$ и $y=0$.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y = f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле определенного интеграла:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

В данном случае имеем:

$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$, $a=0$, $b=1$.

Подставим эти значения в формулу для вычисления площади:

$S = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2} \,dx$

Для вычисления этого интеграла найдем первообразную функции $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$. Это табличный интеграл, первообразной является функция арктангенса:

$\int \frac{1}{1+x^2} \,dx = \arctan(x) + C$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:

$S = [\arctan(x)]_{0}^{1} = \arctan(1) - \arctan(0)$

Вычислим значения арктангенса в заданных точках:

$\arctan(1)$ — это угол, тангенс которого равен 1. В интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ это значение равно $\frac{\pi}{4}$.

$\arctan(0)$ — это угол, тангенс которого равен 0. Это значение равно $\text{0}$.

Подставим найденные значения обратно в выражение для площади:

$S = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

Ответ: $S = \frac{\pi}{4}$.

Чертеж: