Номер 9.234, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.233-9.243 найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной данными линиями, и выполните соответствующий чертеж.

9.234. $f(x) = 4x^3$, $x = 0$, $x = 1$, $y = 0$.

9.234. Требуется найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $f(x) = 4x^3$, осью абсцисс ($y=0$), и вертикальными прямыми $x=0$ и $x=1$.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функцией $y = f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

В нашем случае, $f(x) = 4x^3$, $a = 0$ и $b = 1$. Функция $f(x) = 4x^3$ является неотрицательной на отрезке $[0, 1]$.

Подставим данные в формулу и вычислим интеграл: $S = \int_{0}^{1} 4x^3 \,dx$

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 4x^3$: $F(x) = \int 4x^3 \,dx = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + C = x^4 + C$

Теперь вычислим значение определенного интеграла: $S = [x^4]_{0}^{1} = 1^4 - 0^4 = 1 - 0 = 1$

Площадь криволинейной трапеции равна 1 квадратной единице.

Чертёж:

На чертеже показана система координат. Искомая фигура (криволинейная трапеция) заштрихована. Она ограничена следующими линиями:

• Сверху — графиком функции $y = 4x^3$ (синяя линия).
• Снизу — осью абсцисс $y = 0$.
• Слева — осью ординат $x = 0$.
• Справа — вертикальной прямой $x = 1$ (пунктирная линия).

Ответ: 1.