Номер 9.233, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.233-9.243 найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной данными линиями, и выполните соответствующий чертеж.

9.233. $f(x) = 3x^2 + 2x, x = 0, x = 2, y = 0.$

9.233. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y = f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$.

В данном случае криволинейная трапеция ограничена параболой $f(x) = 3x^2 + 2x$ и прямыми $x=0$, $x=2$, $y=0$.

Поскольку на отрезке $[0, 2]$ функция $f(x) = 3x^2 + 2x$ принимает неотрицательные значения (при $x \ge 0$, оба сомножителя в $f(x)=x(3x+2)$ неотрицательны), площадь можно найти как определенный интеграл от этой функции в пределах от $\text{0}$ до $\text{2}$.

Вычислим интеграл: $S = \int_{0}^{2} (3x^2 + 2x) \,dx$.

Для этого сначала найдем первообразную $F(x)$ для подынтегральной функции $f(x) = 3x^2 + 2x$. Используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$, получаем:

$F(x) = \int (3x^2 + 2x) \,dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^3 + x^2$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $S = F(b) - F(a)$:

$S = (x^3 + x^2) \Big|_{0}^{2} = (2^3 + 2^2) - (0^3 + 0^2) = (8 + 4) - 0 = 12$.

Площадь криволинейной трапеции составляет 12 квадратных единиц.

Соответствующий чертеж:

На графике показана криволинейная трапеция (заштрихованная область), ограниченная параболой $y = 3x^2 + 2x$ (синяя линия), осью ординат ($x=0$), осью абсцисс ($y=0$) и прямой $x=2$ (красная пунктирная линия).

Ответ: 12.