Номер 9.226, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.224-9.229 найдите неопределенный интеграл.

9.226. 1) $\int \sin^2 x \cos x dx$;

2) $\int \cos^5 x \sin x dx$.

1) Для нахождения интеграла $\int \sin^2 x \cos x \,dx$ воспользуемся методом замены переменной (или внесения под знак дифференциала).

Заметим, что $\cos x \,dx$ является дифференциалом функции $\sin x$, то есть $d(\sin x) = (\sin x)' dx = \cos x \,dx$.

Внесем $\cos x$ под знак дифференциала:

$\int \sin^2 x \cos x \,dx = \int \sin^2 x \,d(\sin x)$

Теперь мы имеем интеграл вида $\int u^2 \,du$, где $u = \sin x$. Это табличный интеграл от степенной функции.

$\int u^2 \,du = \frac{u^3}{3} + C$

Применив это правило, получаем:

$\int \sin^2 x \,d(\sin x) = \frac{\sin^3 x}{3} + C$, где $\text{C}$ – произвольная постоянная.

Ответ: $\frac{\sin^3 x}{3} + C$.

2) Для нахождения интеграла $\int \cos^5 x \sin x \,dx$ также используем метод замены переменной.

Заметим, что $\sin x \,dx$ связано с дифференциалом функции $\cos x$: $d(\cos x) = (\cos x)' dx = -\sin x \,dx$.

Отсюда следует, что $\sin x \,dx = -d(\cos x)$.

Подставим это выражение в интеграл:

$\int \cos^5 x \sin x \,dx = \int \cos^5 x (-d(\cos x)) = -\int \cos^5 x \,d(\cos x)$

Мы получили интеграл вида $-\int u^5 \,du$, где $u = \cos x$.

$-\int u^5 \,du = -\frac{u^6}{6} + C$

Применяя это правило к нашему интегралу, получаем:

$-\int \cos^5 x \,d(\cos x) = -\frac{\cos^6 x}{6} + C$, где $\text{C}$ – произвольная постоянная.

Ответ: $-\frac{\cos^6 x}{6} + C$.