Номер 9.223, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.223. Найдите первообразную для функции:

1) $f(x) = 3x^2 + 2x;$

2) $f(x) = \sin x;$

3) $f(x) = \frac{2}{\sin^2 x};$

4) $f(x) = x + \frac{1}{x};$

5) $f(x) = 4x^3 + \frac{3}{x^2 + 4};$

6) $f(x) = \cos x + e^x.$

1)

Чтобы найти первообразную для функции $f(x) = 3x^2 + 2x$, мы используем правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и правило интегрирования суммы функций.

Первообразная для $3x^2$ равна $3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.

Первообразная для $2x$ (или $2x^1$) равна $2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$.

Складывая первообразные и добавляя константу интегрирования $\text{C}$, получаем общую первообразную:

$F(x) = x^3 + x^2 + C$.

Ответ: $F(x) = x^3 + x^2 + C$.

2)

Для функции $f(x) = \sin x$, мы ищем функцию $F(x)$, производная которой равна $\sin x$.

Известно, что производная от $\cos x$ равна $-\sin x$, то есть $(\cos x)' = -\sin x$.

Следовательно, производная от $-\cos x$ равна $\sin x$, то есть $(-\cos x)' = \sin x$.

Таким образом, первообразная для $\sin x$ это $-\cos x$. Общий вид первообразной:

$F(x) = -\cos x + C$.

Ответ: $F(x) = -\cos x + C$.

3)

Для функции $f(x) = \frac{2}{\sin^2 x}$, мы ищем первообразную для выражения $2 \cdot \frac{1}{\sin^2 x}$.

Известно, что производная котангенса равна $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Значит, производная от $-\cot x$ равна $(-\cot x)' = \frac{1}{\sin^2 x}$.

Первообразная для $\frac{1}{\sin^2 x}$ это $-\cot x$. Умножая на константу 2, получаем:

$F(x) = 2 \cdot (-\cot x) + C = -2\cot x + C$.

Ответ: $F(x) = -2\cot x + C$.

4)

Для функции $f(x) = x + \frac{1}{x}$, найдем первообразную для каждого слагаемого по отдельности.

Первообразная для $\text{x}$ (или $x^1$) находится по формуле для степенной функции: $\frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$.

Первообразная для $\frac{1}{x}$ это натуральный логарифм модуля $\text{x}$, так как $(\ln|x|)' = \frac{1}{x}$.

Складывая первообразные и добавляя константу $\text{C}$, получаем:

$F(x) = \frac{x^2}{2} + \ln|x| + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + \ln|x| + C$.

5)

Для функции $f(x) = 4x^3 + \frac{3}{x^2+4}$, найдем первообразную для каждого слагаемого.

Первообразная для $4x^3$ равна $4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$.

Для второго слагаемого, $\frac{3}{x^2+4} = 3 \cdot \frac{1}{x^2+2^2}$, используем табличную первообразную для арктангенса: $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a}) + C$.

В нашем случае $a=2$. Первообразная для $\frac{1}{x^2+2^2}$ равна $\frac{1}{2}\arctan(\frac{x}{2})$.

Следовательно, первообразная для $3 \cdot \frac{1}{x^2+4}$ равна $3 \cdot \frac{1}{2}\arctan(\frac{x}{2}) = \frac{3}{2}\arctan(\frac{x}{2})$.

Общая первообразная:

$F(x) = x^4 + \frac{3}{2}\arctan(\frac{x}{2}) + C$.

Ответ: $F(x) = x^4 + \frac{3}{2}\arctan(\frac{x}{2}) + C$.

6)

Для функции $f(x) = \cos x + e^x$, найдем первообразную для каждого слагаемого.

Первообразная для $\cos x$ это $\sin x$, так как $(\sin x)' = \cos x$.

Первообразная для экспоненциальной функции $e^x$ это сама функция $e^x$, так как $(e^x)' = e^x$.

Складывая первообразные, получаем:

$F(x) = \sin x + e^x + C$.

Ответ: $F(x) = \sin x + e^x + C$.