Номер 9.217, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.217. В какой точке касательная, проведенная к графику функ- ции $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 7x - 4$, составляет с положительным направлением оси Ox угол в 45°?

Угловой коэффициент $\text{k}$ касательной к графику функции в некоторой точке равен тангенсу угла $\alpha$, который эта касательная составляет с положительным направлением оси Ox. С другой стороны, из геометрического смысла производной известно, что угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$ в этой точке.

По условию задачи, угол наклона касательной составляет $\alpha = 45^\circ$. Следовательно, угловой коэффициент равен:

$k = \tan(45^\circ) = 1$.

Найдем производную функции $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 7x - 4$:

$f'(x) = \left(\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 7x - 4\right)' = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' - \frac{5}{2} \cdot (x^2)' + (7x)' - (4)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{5}{2} \cdot 2x + 7 - 0 = x^2 - 5x + 7$.

Теперь найдем абсциссы $\text{x}$ точек, в которых угловой коэффициент касательной равен 1. Для этого приравняем производную к значению $\text{k}$ и решим уравнение $f'(x) = 1$:

$x^2 - 5x + 7 = 1$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Следовательно, корнями уравнения являются:

$x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Мы нашли абсциссы искомых точек. Теперь найдем для каждой из них соответствующую ординату, подставив найденные значения $\text{x}$ в исходную функцию $f(x)$.

1. При $x = 2$:

$y = f(2) = \frac{2^3}{3} - \frac{5 \cdot 2^2}{2} + 7 \cdot 2 - 4 = \frac{8}{3} - \frac{5 \cdot 4}{2} + 14 - 4 = \frac{8}{3} - 10 + 10 = \frac{8}{3}$.

Таким образом, первая искомая точка имеет координаты $(2; \frac{8}{3})$.

2. При $x = 3$:

$y = f(3) = \frac{3^3}{3} - \frac{5 \cdot 3^2}{2} + 7 \cdot 3 - 4 = \frac{27}{3} - \frac{45}{2} + 21 - 4 = 9 - 22.5 + 17 = 26 - 22.5 = 3.5 = \frac{7}{2}$.

Таким образом, вторая искомая точка имеет координаты $(3; \frac{7}{2})$.

Ответ: $(2; \frac{8}{3})$ и $(3; \frac{7}{2})$.