Номер 9.219, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.219. Во сколько раз объем шара больше объема наибольшего цилиндра, вписанного в этот шар?

Пусть радиус шара равен $\text{R}$. Тогда его объем вычисляется по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Пусть в этот шар вписан цилиндр с радиусом основания $\text{r}$ и высотой $\text{h}$. Объем такого цилиндра равен:

$V_{цилиндра} = \pi r^2 h$

Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Сечением шара будет круг радиуса $\text{R}$, а сечением цилиндра — прямоугольник с высотой $\text{h}$ и шириной $2r$, вписанный в этот круг. Диагональ этого прямоугольника будет равна диаметру круга, то есть $2R$.

Связь между радиусом шара $\text{R}$, радиусом цилиндра $\text{r}$ и половиной высоты цилиндра $\frac{h}{2}$ можно найти из прямоугольного треугольника, катетами которого являются $\text{r}$ и $\frac{h}{2}$, а гипотенузой — $\text{R}$. По теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$

Отсюда можно выразить квадрат радиуса цилиндра:

$r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4}$

Подставим это выражение в формулу объема цилиндра, чтобы получить функцию объема от одной переменной $\text{h}$ (где $\text{R}$ — константа):

$V_{цилиндра}(h) = \pi \left(R^2 - \frac{h^2}{4}\right)h = \pi R^2 h - \frac{\pi h^3}{4}$

Чтобы найти наибольший объем цилиндра, нужно исследовать эту функцию на максимум. Для этого найдем ее производную по $\text{h}$ и приравняем к нулю:

$V'_{цилиндра}(h) = \left(\pi R^2 h - \frac{\pi h^3}{4}\right)' = \pi R^2 - \frac{3\pi h^2}{4}$

Приравняем производную к нулю:

$\pi R^2 - \frac{3\pi h^2}{4} = 0$

$R^2 = \frac{3h^2}{4}$

$h^2 = \frac{4R^2}{3}$

$h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$

Теперь, когда мы нашли высоту, при которой объем цилиндра максимален, найдем сам этот максимальный объем. Для этого найдем соответствующий $r^2$:

$r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4} = R^2 - \frac{1}{4} \left(\frac{4R^2}{3}\right) = R^2 - \frac{R^2}{3} = \frac{2R^2}{3}$

Теперь подставим найденные $r^2$ и $\text{h}$ в формулу объема цилиндра:

$V_{наиб. цилиндра} = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{2R^2}{3}\right) \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right) = \frac{4\pi R^3}{3\sqrt{3}}$

Осталось найти, во сколько раз объем шара больше объема наибольшего вписанного цилиндра. Для этого разделим объем шара на объем цилиндра:

$\frac{V_{шара}}{V_{наиб. цилиндра}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{4\pi R^3}{3\sqrt{3}}} = \frac{4}{3}\pi R^3 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{4\pi R^3} = \sqrt{3}$

Ответ: объем шара больше объема наибольшего вписанного в него цилиндра в $\sqrt{3}$ раз.