Номер 9.220, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.220. Из круга вырезали сектор с центральным углом $\alpha$, затем из сектора свернули конус. При каком значении $\alpha$ объем полученного конуса будет наибольшим?

Пусть радиус исходного круга равен $\text{L}$. Этот радиус станет образующей $\text{l}$ полученного конуса, то есть $l = L$. Сектор этого круга имеет центральный угол $\alpha$ (в радианах). Длина дуги этого сектора равна $s = L\alpha$.

При сворачивании сектора в конус, дуга сектора становится окружностью основания конуса. Пусть $\text{r}$ — радиус основания конуса. Тогда длина этой окружности равна $2\pi r$. Следовательно, $L\alpha = 2\pi r$, откуда мы можем выразить радиус основания конуса: $r = \frac{L\alpha}{2\pi}$.

Высоту конуса $\text{h}$ найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей, по теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + r^2$. $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{L^2 - \left(\frac{L\alpha}{2\pi}\right)^2} = L\sqrt{1 - \frac{\alpha^2}{4\pi^2}}$. Для существования конуса необходимо, чтобы $h>0$, что означает $1 - \frac{\alpha^2}{4\pi^2} > 0$, то есть $\alpha < 2\pi$.

Объем конуса $\text{V}$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Подставим в нее выражения для $\text{r}$ и $\text{h}$: $V(\alpha) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{L\alpha}{2\pi}\right)^2 L\sqrt{1 - \frac{\alpha^2}{4\pi^2}} = \frac{1}{3}\pi \frac{L^2\alpha^2}{4\pi^2} L\sqrt{1 - \frac{\alpha^2}{4\pi^2}} = \frac{L^3}{12\pi}\alpha^2\sqrt{1 - \frac{\alpha^2}{4\pi^2}}$.

Чтобы найти значение $\alpha$, при котором объем максимален, нужно исследовать функцию $V(\alpha)$ на экстремум. Для упрощения вычислений будем максимизировать не сам объем $\text{V}$, а его квадрат $V^2$, так как $V>0$ и максимум $\text{V}$ достигается при том же значении $\alpha$, что и максимум $V^2$. $V^2(\alpha) = \left(\frac{L^3}{12\pi}\right)^2 \alpha^4 \left(1 - \frac{\alpha^2}{4\pi^2}\right)$. Так как $\left(\frac{L^3}{12\pi}\right)^2$ является постоянным положительным множителем, для нахождения максимума достаточно исследовать функцию $f(\alpha) = \alpha^4 \left(1 - \frac{\alpha^2}{4\pi^2}\right) = \alpha^4 - \frac{\alpha^6}{4\pi^2}$.

Найдем производную функции $f(\alpha)$ по $\alpha$: $f'(\alpha) = 4\alpha^3 - \frac{6\alpha^5}{4\pi^2} = 4\alpha^3 - \frac{3\alpha^5}{2\pi^2}$. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $4\alpha^3 - \frac{3\alpha^5}{2\pi^2} = 0$. $\alpha^3 \left(4 - \frac{3\alpha^2}{2\pi^2}\right) = 0$. Так как $\alpha > 0$ (иначе сектора и конуса не существует), то $\alpha^3 \neq 0$. Следовательно: $4 - \frac{3\alpha^2}{2\pi^2} = 0$ $4 = \frac{3\alpha^2}{2\pi^2}$ $8\pi^2 = 3\alpha^2$ $\alpha^2 = \frac{8\pi^2}{3}$ $\alpha = \sqrt{\frac{8\pi^2}{3}} = 2\pi\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{2\pi\sqrt{6}}{3}$.

Это значение $\alpha$ находится в допустимом интервале $(0, 2\pi)$. Можно проверить, что это точка максимума, например, с помощью второй производной. Так как производная $f'(\alpha)$ меняет знак с плюса на минус при переходе через эту точку, это действительно точка максимума. Таким образом, объем конуса будет наибольшим при данном значении $\alpha$.

Ответ: $\alpha = \frac{2\pi\sqrt{6}}{3}$ радиан (или $120\sqrt{6}$ градусов).