Номер 9.216, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.216. Для каждой из функций, данных в упражнении 9.209, найдите угловой коэффициент касательной к графику функции, проведенной в точке его пересечения с осью $\text{Oy}$.

9.209. Найдите промежутки возрастания функции:

1) $y = x^2 + 4x + 5$;

2) $y = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3$;

3) $y = \frac{1}{1+x^2}$.

Задача 9.216 состоит в том, чтобы для каждой из функций, данных в упражнении 9.209, найти угловой коэффициент касательной к графику функции, проведенной в точке его пересечения с осью $Oy$.

Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной функции $y'(x_0)$ в этой точке. Точка пересечения с осью $Oy$ имеет абсциссу $x_0 = 0$. Таким образом, для каждой функции нам необходимо найти производную и вычислить ее значение при $x=0$.

1) Для функции $y = x^2 + 4x + 5$.

Сначала найдем точку пересечения графика функции с осью $Oy$. Для этого подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 + 5 = 5$.

Точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0, 5)$. Касательная проводится в этой точке, следовательно, $x_0 = 0$.

Теперь найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (x^2 + 4x + 5)' = 2x + 4$.

Угловой коэффициент касательной $\text{k}$ равен значению производной в точке $x_0 = 0$:

$k = y'(0) = 2 \cdot 0 + 4 = 4$.

Ответ: 4.

2) Для функции $y = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3$.

Найдем точку пересечения графика с осью $Oy$, подставив $x=0$ в уравнение:

$y(0) = \frac{0^3}{3} - 0^2 - 3 = -3$.

Точка пересечения — $(0, -3)$. Нам нужно найти угловой коэффициент касательной при $x_0 = 0$.

Найдем производную функции:

$y' = (\frac{x^3}{3} - x^2 - 3)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2x - 0 = x^2 - 2x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$k = y'(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0.

3) Для функции $y = \frac{1}{1 + x^2}$.

Найдем точку пересечения графика с осью $Oy$, подставив $x=0$:

$y(0) = \frac{1}{1 + 0^2} = 1$.

Точка пересечения — $(0, 1)$. Искомый угловой коэффициент касательной находится при $x_0 = 0$.

Найдем производную функции. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. В нашем случае $u=1$ и $v=1+x^2$.

$u' = 0$, $v' = 2x$.

$y' = \frac{0 \cdot (1+x^2) - 1 \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$k = y'(0) = -\frac{2 \cdot 0}{(1+0^2)^2} = -\frac{0}{1} = 0$.

Ответ: 0.