Номер 9.209, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.209. Найдите промежутки возрастания функции:

1) $y = x^2 + 4x + 5$;

2) $y = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3$;

3) $y = \frac{1}{1+x^2}$.

1) Для нахождения промежутков возрастания функции $y = x^2 + 4x + 5$ найдем ее производную. Функция возрастает на тех интервалах, где ее производная положительна.

Производная функции: $y' = (x^2 + 4x + 5)' = 2x + 4$.

Найдем, при каких значениях $\text{x}$ производная $y' > 0$. Решим неравенство:

$2x + 4 > 0$

$2x > -4$

$x > -2$

Функция возрастает на промежутке $(-2, +\infty)$. Поскольку функция является непрерывной, принято включать граничную точку в промежуток монотонности. Таким образом, функция возрастает на $[-2, +\infty)$.

Ответ: $[-2, +\infty)$.

2) Найдем промежутки возрастания для функции $y = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3$. Для этого сначала найдем ее производную.

Производная функции: $y' = (\frac{x^3}{3} - x^2 - 3)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2x = x^2 - 2x$.

Функция возрастает при $y' > 0$. Решим неравенство:

$x^2 - 2x > 0$

$x(x - 2) > 0$

Найдем корни уравнения $x(x - 2) = 0$. Это $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения вне корней.

Неравенство выполняется при $x < 0$ или $x > 2$.

Следовательно, функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[2, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, 0]$ и $[2, +\infty)$.

3) Найдем промежутки возрастания для функции $y = \frac{1}{1 + x^2}$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \left(\frac{1}{1 + x^2}\right)' = \frac{(1)'(1 + x^2) - 1(1 + x^2)'}{(1 + x^2)^2} = \frac{0 \cdot (1 + x^2) - 1 \cdot 2x}{(1 + x^2)^2} = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2}$.

Функция возрастает, когда $y' > 0$. Решим неравенство:

$-\frac{2x}{(1 + x^2)^2} > 0$

Знаменатель $(1 + x^2)^2$ всегда положителен для любого действительного $\text{x}$. Следовательно, знак всей дроби определяется знаком числителя $-2x$.

$-2x > 0$

Разделив обе части на $-2$ и изменив знак неравенства, получим:

$x < 0$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$.

Ответ: $(-\infty, 0]$.