Номер 9.202, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.202. 1) $y = \frac{\cos x}{1 - \sin x}$;

2) $y = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$.

1) Чтобы найти производную функции $y = \frac{\cos x}{1 - \sin x}$, мы используем правило дифференцирования частного (или правило дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае, пусть $u(x) = \cos x$ и $v(x) = 1 - \sin x$.

Сначала найдем производные $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

$v'(x) = (1 - \sin x)' = -( \sin x)' = -\cos x$

Теперь подставим эти значения в формулу производной частного:

$y' = \frac{(-\sin x)(1 - \sin x) - (\cos x)(-\cos x)}{(1 - \sin x)^2}$

Упростим числитель, раскрыв скобки:

$y' = \frac{-\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x}{(1 - \sin x)^2}$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$y' = \frac{-\sin x + 1}{(1 - \sin x)^2} = \frac{1 - \sin x}{(1 - \sin x)^2}$

Сократим дробь на $(1 - \sin x)$, что возможно, так как в области определения исходной функции знаменатель не равен нулю ($1 - \sin x \neq 0$):

$y' = \frac{1}{1 - \sin x}$

Ответ: $y' = \frac{1}{1 - \sin x}$

2) Чтобы найти производную функции $y = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$, мы также используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = \sqrt{x} + 1$.

Найдем производные $u(x)$ и $v(x)$. Производная квадратного корня: $(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

$u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v'(x) = (\sqrt{x} + 1)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 0 = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Подставим эти производные в формулу:

$y' = \frac{(\frac{1}{2\sqrt{x}})(\sqrt{x} + 1) - (\sqrt{x})(\frac{1}{2\sqrt{x}})}{(\sqrt{x} + 1)^2}$

Упростим числитель:

$y' = \frac{\frac{\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x} + 1)^2} = \frac{\frac{(\sqrt{x} + 1) - \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x} + 1)^2}$

$y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x} + 1)^2}$

Запишем это в виде одноэтажной дроби:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)^2}$

Ответ: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)^2}$