Номер 9.205, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.205. 1) $y = x - \text{arctg}x;$

2) $y = \text{arccos}(1 - 2x).$

1) Для нахождения производной функции $y = x - \text{arctg}x$ воспользуемся правилом дифференцирования разности двух функций: $(u-v)' = u' - v'$.

В данном случае $u(x) = x$ и $v(x) = \text{arctg}x$.

Находим производные каждой функции по отдельности:

Производная от $\text{x}$ равна 1: $(x)' = 1$.

Производная от арктангенса является табличной: $(\text{arctg}x)' = \frac{1}{1+x^2}$.

Теперь подставляем найденные производные в исходную формулу:

$y' = (x - \text{arctg}x)' = (x)' - (\text{arctg}x)' = 1 - \frac{1}{1+x^2}$.

Приведем выражение к общему знаменателю для упрощения:

$y' = \frac{1+x^2}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2} = \frac{1+x^2 - 1}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2}$.

Ответ: $y' = \frac{x^2}{1+x^2}$.

2) Для нахождения производной функции $y = \text{arccos}(1-2x)$ необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Здесь внешняя функция $f(u) = \text{arccos}(u)$, а внутренняя функция $u(x) = g(x) = 1-2x$.

Сначала найдем производную внешней функции по ее аргументу $\text{u}$:

$f'(u) = (\text{arccos}(u))' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.

Затем найдем производную внутренней функции по $\text{x}$:

$u'(x) = (1-2x)' = (1)' - (2x)' = 0 - 2 = -2$.

Теперь перемножим эти производные, подставив вместо $\text{u}$ выражение $1-2x$:

$y' = f'(u(x)) \cdot u'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-(1-2x)^2}} \cdot (-2) = \frac{2}{\sqrt{1-(1-2x)^2}}$.

Упростим выражение под корнем:

$1-(1-2x)^2 = 1 - (1 - 4x + 4x^2) = 1 - 1 + 4x - 4x^2 = 4x - 4x^2$.

Подставим упрощенное выражение обратно в производную:

$y' = \frac{2}{\sqrt{4x - 4x^2}} = \frac{2}{\sqrt{4(x-x^2)}} = \frac{2}{2\sqrt{x-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{x-x^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{\sqrt{x-x^2}}$.