Номер 9.203, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.203. 1) $y = (2 - 3x^2)^3$;

2) $y = \left(1 + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^3$.

1) Для нахождения производной функции $y = (2 - 3x^2)^3$ используется правило дифференцирования сложной функции (также известное как цепное правило). Функция является степенной, где основание $u = 2 - 3x^2$ само является функцией от $\text{x}$.

Правило производной для степенной функции $y = u^n$, где $u = g(x)$, имеет вид: $y' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

В данном случае, $u = 2 - 3x^2$ и $n = 3$.

Сначала найдем производную внутренней функции $\text{u}$ по $\text{x}$:

$u' = (2 - 3x^2)' = (2)' - (3x^2)' = 0 - 3 \cdot 2x = -6x$.

Теперь применим формулу производной сложной функции, подставив $\text{u}$, $\text{n}$ и $u'$:

$y' = 3 \cdot (2 - 3x^2)^{3-1} \cdot (-6x)$.

Упростим выражение:

$y' = 3 \cdot (2 - 3x^2)^2 \cdot (-6x)$.

Перемножим числовые коэффициенты $\text{3}$ и $-6x$:

$y' = -18x(2 - 3x^2)^2$.

Ответ: $y' = -18x(2 - 3x^2)^2$.

2) Для нахождения производной функции $y = \left(1 + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^3$ сначала преобразуем ее, представив корень и дробь в виде степени.

$\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$, следовательно, $\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = \frac{1}{x^{1/3}} = x^{-1/3}$.

Таким образом, функция принимает вид: $y = (1 + x^{-1/3})^3$.

Эта функция также является сложной, вида $y=u^3$, где $u = 1 + x^{-1/3}$. Применим правило дифференцирования сложной функции: $y' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

Здесь $n=3$ и $u = 1 + x^{-1/3}$.

Найдем производную внутренней функции $u'$:

$u' = (1 + x^{-1/3})' = (1)' + (x^{-1/3})' = 0 + \left(-\frac{1}{3}\right)x^{-\frac{1}{3}-1} = -\frac{1}{3}x^{-4/3}$.

Теперь подставим $\text{u}$ и $u'$ в формулу производной сложной функции:

$y' = 3(1 + x^{-1/3})^2 \cdot \left(-\frac{1}{3}x^{-4/3}\right)$.

Сократим множители $\text{3}$ и $-\frac{1}{3}$:

$y' = -(1 + x^{-1/3})^2 \cdot x^{-4/3}$.

Это уже является ответом, но его можно упростить. Преобразуем выражение, чтобы избавиться от отрицательных степеней.

$y' = -\left(1 + \frac{1}{x^{1/3}}\right)^2 \cdot \frac{1}{x^{4/3}}$.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$y' = -\left(\frac{x^{1/3} + 1}{x^{1/3}}\right)^2 \cdot \frac{1}{x^{4/3}}$.

Возведем дробь в квадрат:

$y' = -\frac{(x^{1/3} + 1)^2}{(x^{1/3})^2} \cdot \frac{1}{x^{4/3}} = -\frac{(1 + \sqrt[3]{x})^2}{x^{2/3}} \cdot \frac{1}{x^{4/3}}$.

Умножим дроби, сложив показатели степеней в знаменателе ($x^{a} \cdot x^{b} = x^{a+b}$):

$y' = -\frac{(1 + \sqrt[3]{x})^2}{x^{2/3 + 4/3}} = -\frac{(1 + \sqrt[3]{x})^2}{x^{6/3}} = -\frac{(1 + \sqrt[3]{x})^2}{x^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{(1+\sqrt[3]{x})^2}{x^2}$.