Номер 9.206, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.206. 1) $(x^2 + 4)\arctan\frac{x}{2} - 2x$;

2) $y = x(\cos\ln x + \sin\ln x)$.

1) Найдем производную функции $y = (x^2 + 4)\operatorname{arctg}\frac{x}{2} - 2x$.

Производная функции является разностью производных ее слагаемых:

$y' = \left((x^2 + 4)\operatorname{arctg}\frac{x}{2}\right)' - (2x)'$.

Найдем производную первого слагаемого, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = x^2 + 4$ и $v = \operatorname{arctg}\frac{x}{2}$.

Найдем производные $u'$ и $v'$:

$u' = (x^2 + 4)' = 2x$.

Для нахождения $v'$ используем правило дифференцирования сложной функции и табличную производную $(\operatorname{arctg} z)' = \frac{1}{1+z^2}$:

$v' = \left(\operatorname{arctg}\frac{x}{2}\right)' = \frac{1}{1 + (\frac{x}{2})^2} \cdot \left(\frac{x}{2}\right)' = \frac{1}{1 + \frac{x^2}{4}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\frac{4+x^2}{4}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{x^2+4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{x^2+4}$.

Теперь подставим найденные производные в правило произведения:

$\left((x^2 + 4)\operatorname{arctg}\frac{x}{2}\right)' = u'v + uv' = 2x \cdot \operatorname{arctg}\frac{x}{2} + (x^2+4) \cdot \frac{2}{x^2+4} = 2x \operatorname{arctg}\frac{x}{2} + 2$.

Найдем производную второго слагаемого:

$(2x)' = 2$.

Теперь объединим все части:

$y' = (2x \operatorname{arctg}\frac{x}{2} + 2) - 2 = 2x \operatorname{arctg}\frac{x}{2}$.

Ответ: $2x \operatorname{arctg}\frac{x}{2}$.

2) Найдем производную функции $y = x(\cos(\ln x) + \sin(\ln x))$.

Используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = x$ и $v = \cos(\ln x) + \sin(\ln x)$.

Найдем производные $u'$ и $v'$:

$u' = (x)' = 1$.

Для нахождения $v'$ используем правило производной суммы и правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$v' = (\cos(\ln x) + \sin(\ln x))' = (\cos(\ln x))' + (\sin(\ln x))'$.

Найдем производную каждого слагаемого, помня, что $(\ln x)' = \frac{1}{x}$:

$(\cos(\ln x))' = -\sin(\ln x) \cdot (\ln x)' = -\sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x}$.

$(\sin(\ln x))' = \cos(\ln x) \cdot (\ln x)' = \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x}$.

Следовательно, производная $v'$ равна:

$v' = -\frac{\sin(\ln x)}{x} + \frac{\cos(\ln x)}{x} = \frac{\cos(\ln x) - \sin(\ln x)}{x}$.

Теперь подставим все в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot (\cos(\ln x) + \sin(\ln x)) + x \cdot \frac{\cos(\ln x) - \sin(\ln x)}{x}$.

Упростим выражение, сократив $\text{x}$ во втором слагаемом:

$y' = \cos(\ln x) + \sin(\ln x) + \cos(\ln x) - \sin(\ln x)$.

Приведем подобные слагаемые:

$y' = (\cos(\ln x) + \cos(\ln x)) + (\sin(\ln x) - \sin(\ln x)) = 2\cos(\ln x)$.

Ответ: $2\cos(\ln x)$.