Номер 9.200, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.197-9.200 найдите производные функций.

9.200.

1) $y = \sin(2x) - \tan(x)$

2) $y = x^2 - \cot(x)$

1) Дана функция $y = \sin(2x) - \tg(x)$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования разности функций: $(u-v)' = u' - v'$.

$y' = (\sin(2x) - \tg(x))' = (\sin(2x))' - (\tg(x))'$.

Найдем производную первого слагаемого, $\sin(2x)$. Это сложная функция, поэтому применяем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $f(u) = \sin(u)$, а внутренняя $g(x) = 2x$.

Производная внешней функции: $(\sin(u))' = \cos(u)$.

Производная внутренней функции: $(2x)' = 2$.

Следовательно, $(\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.

Теперь найдем производную второго слагаемого, $\tg(x)$. Это табличная производная:

$(\tg(x))' = \frac{1}{\cos^2(x)}$.

Объединяем полученные результаты:

$y' = 2\cos(2x) - \frac{1}{\cos^2(x)}$.

Ответ: $y' = 2\cos(2x) - \frac{1}{\cos^2(x)}$.

2) Дана функция $y = x^2 - \ctg(x)$.

Применяем правило дифференцирования разности: $y' = (x^2 - \ctg(x))' = (x^2)' - (\ctg(x))'$.

Производная первого слагаемого, $x^2$, находится по правилу дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$(x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$.

Производная второго слагаемого, $\ctg(x)$, является табличной производной:

$(\ctg(x))' = -\frac{1}{\sin^2(x)}$.

Подставляем найденные производные в исходное выражение:

$y' = 2x - (-\frac{1}{\sin^2(x)}) = 2x + \frac{1}{\sin^2(x)}$.

Ответ: $y' = 2x + \frac{1}{\sin^2(x)}$.