Номер 9.194, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.190–9.194 решите неравенства.

9.194. 1) $\log_x (2x - 0.75) > 2;$

2) $\log_{x+3}(x^2 - x) < 1;$

3) $\log_{-6x-5x^2} 6^x > 0;$

4) $2^{\sqrt{|x|}-2} > 4.$

1) $log_x(2x - 0,75) > 2$

Перепишем неравенство, заменив десятичную дробь на обыкновенную: $log_x(2x - 3/4) > 2$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма $\text{x}$ должно быть положительным и не равным единице, а аргумент $2x - 3/4$ должен быть строго положительным.

$ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ 2x - 3/4 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ x > 3/8 \end{cases} $.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (3/8; 1) \cup (1; +\infty)$.

Для решения логарифмического неравенства с переменным основанием рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание больше 1 ($x > 1$)

В этом случае логарифмическая функция возрастает, и знак неравенства сохраняется.

$log_x(2x - 3/4) > log_x(x^2) \implies 2x - 3/4 > x^2$

$x^2 - 2x + 3/4 < 0$

$4x^2 - 8x + 3 < 0$

Корни квадратного трехчлена $4x^2 - 8x + 3$ равны $x_1 = 1/2$ и $x_2 = 3/2$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in (1/2; 3/2)$.

Учитывая условие случая ($x > 1$), получаем решение: $x \in (1; 3/2)$.

Случай 2: Основание от 0 до 1 ($0 < x < 1$)

С учетом ОДЗ, этот случай соответствует интервалу $3/8 < x < 1$. Логарифмическая функция убывает, поэтому знак неравенства меняется на противоположный.

$log_x(2x - 3/4) > log_x(x^2) \implies 2x - 3/4 < x^2$

$x^2 - 2x + 3/4 > 0$

$4x^2 - 8x + 3 > 0$

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty; 1/2) \cup (3/2; +\infty)$.

Учитывая условие случая ($3/8 < x < 1$), получаем решение: $x \in (3/8; 1/2)$.

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (3/8; 1/2) \cup (1; 3/2)$.

2) $log_{x+3}(x^2 - x) < 1$

Найдем ОДЗ: основание $x+3$ должно быть положительным и не равно 1, а аргумент $x^2 - x$ должен быть положительным.

$ \begin{cases} x+3 > 0 \\ x+3 \neq 1 \\ x^2 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ x \neq -2 \\ x(x-1) > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ x \neq -2 \\ x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty) \end{cases} $.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-3; -2) \cup (-2; 0) \cup (1; +\infty)$.

Представим 1 как логарифм: $1 = log_{x+3}(x+3)$. Неравенство примет вид: $log_{x+3}(x^2 - x) < log_{x+3}(x+3)$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание больше 1 ($x+3 > 1 \implies x > -2$)

Знак неравенства сохраняется: $x^2 - x < x+3$.

$x^2 - 2x - 3 < 0$.

Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Неравенство выполняется между корнями: $x \in (-1; 3)$.

С учетом условия $x > -2$ и ОДЗ $x \in (-2; 0) \cup (1; +\infty)$, пересечение дает: $x \in (-1; 0) \cup (1; 3)$.

Случай 2: Основание от 0 до 1 ($0 < x+3 < 1 \implies -3 < x < -2$)

Знак неравенства меняется на противоположный: $x^2 - x > x+3$.

$x^2 - 2x - 3 > 0$.

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

Учитывая условие случая ($-3 < x < -2$), получаем решение: $x \in (-3; -2)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (-1; 0) \cup (1; 3)$.

3) $log_{-6x-5x^2}(6^x) > 0$

Неравенство вида $log_a b > 0$ равносильно совокупности двух систем:

1) $a > 1$ и $b > 1$

2) $0 < a < 1$ и $0 < b < 1$.

В нашем случае $a = -6x - 5x^2$ и $b = 6^x$.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} -6x - 5x^2 > 0 \\ -6x - 5x^2 \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 5x^2+6x < 0 \\ 5x^2+6x+1 \neq 0 \end{cases} $

Из $x(5x+6) < 0$ следует $x \in (-6/5; 0)$.

Из $5x^2+6x+1 \neq 0$ следует $x \neq -1$ и $x \neq -1/5$.

ОДЗ: $x \in (-6/5; -1) \cup (-1; -1/5) \cup (-1/5; 0)$.

Рассмотрим условия на $\text{a}$ и $\text{b}$.

$b > 1 \iff 6^x > 1 \iff x > 0$.

$0 < b < 1 \iff 0 < 6^x < 1 \iff x < 0$.

$a > 1 \iff -6x - 5x^2 > 1 \iff 5x^2+6x+1 < 0 \iff x \in (-1; -1/5)$.

$0 < a < 1$: из ОДЗ $a > 0$ при $x \in (-6/5; 0)$. Условие $a < 1$ дает $5x^2+6x+1 > 0$, т.е. $x \in (-\infty; -1) \cup (-1/5; +\infty)$. Совмещая, получаем $x \in (-6/5; -1) \cup (-1/5; 0)$.

Случай 1: $a > 1$ и $b > 1$

$ \begin{cases} x \in (-1; -1/5) \\ x > 0 \end{cases} $. Система не имеет решений.

Случай 2: $0 < a < 1$ и $0 < b < 1$

$ \begin{cases} x \in (-6/5; -1) \cup (-1/5; 0) \\ x < 0 \end{cases} $.

Пересечение этих условий дает $x \in (-6/5; -1) \cup (-1/5; 0)$. Это и есть решение неравенства.

Ответ: $x \in (-6/5; -1) \cup (-1/5; 0)$.

4) $2^{\sqrt{|x|-2}} > 4$

Представим правую часть неравенства как степень с основанием 2:

$2^{\sqrt{|x|-2}} > 2^2$.

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, можно перейти к неравенству для показателей, сохранив знак:

$\sqrt{|x|-2} > 2$.

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$|x| - 2 \ge 0 \implies |x| \ge 2$.

Это означает, что $x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

Теперь решим неравенство $\sqrt{|x|-2} > 2$.

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$({\sqrt{|x|-2}})^2 > 2^2$

$|x| - 2 > 4$

$|x| > 6$.

Это неравенство равносильно совокупности: $x > 6$ или $x < -6$.

Полученное решение $x \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty)$ полностью входит в ОДЗ, так как если $|x| > 6$, то и $|x| \ge 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty)$.