Номер 9.190, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.190-9.194 решите неравенства.

9.190. 1) $2^x \cdot 5^x > 0.1(10^x - 1)^5;$ 2) $(\lg 3)^{8x - 7} > (\log_3 10)^{7x - 3};$

3) $6^{3-x} < 216;$ 4) $\left(\frac{1}{3}\right)^{-(x+2)} \ge 81.$

1) Преобразуем обе части неравенства $2^x \cdot 5^x > 0.1 \cdot (10^{x-1})^5$. Сначала упростим левую часть, используя свойство степеней $a^n \cdot b^n = (ab)^n$: $2^x \cdot 5^x = (2 \cdot 5)^x = 10^x$. Теперь упростим правую часть. Представим $0.1$ в виде $10^{-1}$ и воспользуемся свойством $(a^m)^n = a^{mn}$: $0.1 \cdot (10^{x-1})^5 = 10^{-1} \cdot 10^{5(x-1)} = 10^{-1} \cdot 10^{5x-5}$. Далее, по свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем: $10^{-1+5x-5} = 10^{5x-6}$. Таким образом, исходное неравенство принимает вид: $10^x > 10^{5x-6}$. Так как основание степени $10 > 1$, показательная функция $y=10^t$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется: $x > 5x-6$. Решим полученное линейное неравенство: $6 > 5x - x$ $6 > 4x$ $x < \frac{6}{4}$ $x < 1.5$.

Ответ: $(-\infty; 1.5)$.

2) Рассмотрим неравенство $(\lg 3)^{8x-7} > (\log_3 10)^{7x-3}$. Обратим внимание на основания степеней: $\lg 3$ и $\log_3 10$. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$: $\log_3 10 = \frac{1}{\log_{10} 3} = \frac{1}{\lg 3} = (\lg 3)^{-1}$. Подставим это выражение в правую часть неравенства: $(\lg 3)^{8x-7} > ((\lg 3)^{-1})^{7x-3}$. Упростим правую часть по свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $(\lg 3)^{8x-7} > (\lg 3)^{-(7x-3)}$ $(\lg 3)^{8x-7} > (\lg 3)^{3-7x}$. Теперь необходимо сравнить показатели. Для этого оценим основание $\lg 3$. Поскольку $1 < 3 < 10$, и функция $y=\lg x$ является возрастающей, то $\lg 1 < \lg 3 < \lg 10$, что равносильно $0 < \lg 3 < 1$. Так как основание степени принадлежит интервалу $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. Это означает, что при переходе от неравенства степеней к неравенству показателей знак неравенства нужно изменить на противоположный: $8x-7 < 3-7x$. Решим линейное неравенство: $8x + 7x < 3 + 7$ $15x < 10$ $x < \frac{10}{15}$ $x < \frac{2}{3}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{2}{3})$.

3) Решим неравенство $6^{3-x} < 216$. Представим число $216$ в виде степени с основанием 6: $216 = 6^3$. Неравенство принимает вид: $6^{3-x} < 6^3$. Основание степени $6 > 1$, поэтому показательная функция является возрастающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется: $3-x < 3$ $-x < 3 - 3$ $-x < 0$. Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $x > 0$.

Ответ: $(0; +\infty)$.

4) Решим неравенство $(\frac{1}{3})^{-(x+2)} \ge 81$. Приведем обе части неравенства к одному основанию, например, к основанию 3. Упростим левую часть: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, поэтому $(\frac{1}{3})^{-(x+2)} = (3^{-1})^{-(x+2)} = 3^{(-1) \cdot (-(x+2))} = 3^{x+2}$. Представим правую часть в виде степени с основанием 3: $81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$. Неравенство принимает вид: $3^{x+2} \ge 3^4$. Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, переходя к неравенству для показателей, мы сохраняем знак неравенства: $x+2 \ge 4$ $x \ge 4-2$ $x \ge 2$.

Ответ: $[2; +\infty)$.