Номер 9.188, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.188. Найдите натуральное число $\text{n}$, для которого выполняется равенство $3^2 \cdot 3^5 \cdot 3^8 \cdot \ldots \cdot 3^{3n-1} = 27^5$.

Для решения данного уравнения преобразуем обе его части, приведя их к степени с основанием 3.

Левая часть уравнения представляет собой произведение степеней с одинаковым основанием. По свойству степеней $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$, мы можем сложить показатели:

$3^2 \cdot 3^5 \cdot 3^8 \cdot \ldots \cdot 3^{3n-1} = 3^{2 + 5 + 8 + \ldots + (3n-1)}$

Показатели степеней $2, 5, 8, \ldots, 3n-1$ образуют арифметическую прогрессию. Найдем ее характеристики:

Первый член прогрессии $a_1 = 2$.

Разность прогрессии $d = 5 - 2 = 3$.

Общий член прогрессии имеет вид $a_k = a_1 + (k-1)d = 2 + (k-1)3 = 2 + 3k - 3 = 3k - 1$.

Последний член прогрессии $a_n = 3n-1$, следовательно, в сумме $\text{n}$ членов.

Сумма $\text{n}$ первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$. Подставим наши значения:

$S_n = \frac{(2 + (3n-1))n}{2} = \frac{(3n+1)n}{2}$

Таким образом, левая часть уравнения равна $3^{\frac{n(3n+1)}{2}}$.

Теперь преобразуем правую часть уравнения:

$27^5 = (3^3)^5 = 3^{3 \cdot 5} = 3^{15}$

Приравняем преобразованные части уравнения:

$3^{\frac{n(3n+1)}{2}} = 3^{15}$

Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:

$\frac{n(3n+1)}{2} = 15$

Решим полученное уравнение относительно $\text{n}$. Умножим обе части на 2:

$n(3n+1) = 30$

$3n^2 + n - 30 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-30) = 1 + 360 = 361$

$\sqrt{D} = \sqrt{361} = 19$

$n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 19}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm 19}{6}$

$n_1 = \frac{-1 + 19}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$n_2 = \frac{-1 - 19}{6} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}$

По условию задачи, $\text{n}$ — натуральное число. Из двух найденных корней только $n=3$ является натуральным числом.

Ответ: 3