Номер 9.191, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.190-9.194 решите неравенства.

9.191. 1) $\left(\frac{3}{4}\right)^{2x} - 4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x - 5 > 0$;

2) $\frac{4^x}{4^x - 3^x} < 4$;

3) $\log_5(x^2 - 11x + 43) < 0$;

4) $\log_{\frac{1}{8}} \frac{3x-1}{x+2} < 1$.

1) Решим неравенство $(\frac{3}{4})^{2x} - 4 \cdot (\frac{3}{4})^x - 5 > 0$.

Это показательное неравенство, которое приводится к квадратному. Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{3}{4})^x$. Поскольку показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Неравенство примет вид: $t^2 - 4t - 5 > 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 4t - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 5$ и $t_2 = -1$.

Парабола $y=t^2 - 4t - 5$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $t^2 - 4t - 5 > 0$ выполняется при $t < -1$ или $t > 5$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем единственное решение для $\text{t}$: $t > 5$.

Возвращаемся к замене: $(\frac{3}{4})^x > 5$.

Так как основание степени $0 < \frac{3}{4} < 1$, показательная функция является убывающей. При логарифмировании обеих частей по этому основанию знак неравенства изменится на противоположный.

$x < \log_{\frac{3}{4}}(5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; \log_{\frac{3}{4}}(5))$.

2) Решим неравенство $\frac{4^x}{4^x - 3^x} < 4$.

Перенесем 4 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{4^x}{4^x - 3^x} - 4 < 0$

$\frac{4^x - 4(4^x - 3^x)}{4^x - 3^x} < 0$

$\frac{4^x - 4 \cdot 4^x + 4 \cdot 3^x}{4^x - 3^x} < 0$

$\frac{-3 \cdot 4^x + 4 \cdot 3^x}{4^x - 3^x} < 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{3 \cdot 4^x - 4 \cdot 3^x}{4^x - 3^x} > 0$

Разделим числитель и знаменатель на $3^x > 0$. Знак неравенства не изменится.

$\frac{3 \cdot (\frac{4}{3})^x - 4}{(\frac{4}{3})^x - 1} > 0$

Сделаем замену $t = (\frac{4}{3})^x$. Так как $\text{x}$ может быть любым, кроме $x \neq 0$ (чтобы знаменатель не был равен нулю), то $t > 0$ и $t \neq 1$.

Получаем рациональное неравенство: $\frac{3t - 4}{t - 1} > 0$.

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $t < 1$ или $t > \frac{4}{3}$.

Учитывая, что $t > 0$, получаем $0 < t < 1$ или $t > \frac{4}{3}$.

Возвращаемся к замене:

1. $0 < (\frac{4}{3})^x < 1$. Так как $1 = (\frac{4}{3})^0$ и основание $\frac{4}{3} > 1$, то $x < 0$.

2. $(\frac{4}{3})^x > \frac{4}{3}$. Так как $\frac{4}{3} = (\frac{4}{3})^1$ и основание $\frac{4}{3} > 1$, то $x > 1$.

Объединяя решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

3) Решим неравенство $\log_5(x^2 - 11x + 43) < 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 - 11x + 43 > 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 43 = 121 - 172 = -51$.

Так как $D < 0$ и старший коэффициент (при $x^2$) положителен, то $x^2 - 11x + 43 > 0$ для всех действительных $\text{x}$. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Теперь решим основное неравенство. Представим 0 в виде логарифма с основанием 5: $0 = \log_5(1)$.

$\log_5(x^2 - 11x + 43) < \log_5(1)$.

Так как основание логарифма $5 > 1$, функция $\log_5(y)$ является возрастающей, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 11x + 43 < 1$

$x^2 - 11x + 42 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 11x + 42 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = 7$.

Парабола $y = x^2 - 11x + 42$ имеет ветви вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

Решением является интервал $4 < x < 7$.

Ответ: $x \in (4; 7)$.

4) Решим неравенство $\log_{\frac{1}{3}}\frac{3x - 1}{x + 2} < 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\frac{3x - 1}{x + 2} > 0$.

Решая методом интервалов, находим нули числителя $x = \frac{1}{3}$ и знаменателя $x = -2$.

Знаки на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; \frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3}; +\infty)$ будут $+$, $-$, $+$.

Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

Теперь решаем основное неравенство. Представим 1 в виде логарифма с основанием $\frac{1}{3}$: $1 = \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})$.

$\log_{\frac{1}{3}}\frac{3x - 1}{x + 2} < \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})$.

Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция $\log_{\frac{1}{3}}(y)$ является убывающей, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{3x - 1}{x + 2} > \frac{1}{3}$.

Перенесем все в одну сторону и приведем к общему знаменателю:

$\frac{3x - 1}{x + 2} - \frac{1}{3} > 0$

$\frac{3(3x - 1) - 1(x + 2)}{3(x + 2)} > 0$

$\frac{9x - 3 - x - 2}{3(x + 2)} > 0$

$\frac{8x - 5}{3(x + 2)} > 0$

Это неравенство равносильно $\frac{8x - 5}{x + 2} > 0$.

Решая методом интервалов (нули $x=-2$ и $x=\frac{5}{8}$), получаем $x \in (-\infty; -2) \cup (\frac{5}{8}; +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ:

$((-\infty; -2) \cup (\frac{5}{8}; +\infty)) \cap ((-\infty; -2) \cup (\frac{1}{3}; +\infty))$.

Поскольку $\frac{1}{3} < \frac{5}{8}$, пересечением является $(-\infty; -2) \cup (\frac{5}{8}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (\frac{5}{8}; +\infty)$.