Номер 9.193, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.190-9.194 решите неравенства.

9.193.

1) $\frac{1-\log_4 x}{1+\log_2 x} \le \frac{1}{2}$;

2) $\frac{1}{1+\lg x} + \frac{1}{1-\lg x} > 2$;

3) $\log_2 \left( \log_{\frac{1}{8}} (\log_8 x) \right) > 0$;

4) $\log_{\frac{1}{8}} \left( \log_4 (x^2-5) \right) > 0$.

1) $\frac{1 - \log_4 x}{1 + \log_2 x} \le \frac{1}{2}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным, а знаменатель не должен быть равен нулю.

$x > 0$

$1 + \log_2 x \ne 0 \implies \log_2 x \ne -1 \implies x \ne 2^{-1} \implies x \ne \frac{1}{2}$

ОДЗ: $x \in (0; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

Приведем логарифмы к одному основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию: $\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$.

$\frac{1 - \frac{1}{2}\log_2 x}{1 + \log_2 x} \le \frac{1}{2}$

Сделаем замену переменной: пусть $t = \log_2 x$.

$\frac{1 - \frac{1}{2}t}{1 + t} \le \frac{1}{2}$

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{1 - \frac{1}{2}t}{1 + t} - \frac{1}{2} \le 0$

$\frac{2(1 - \frac{1}{2}t) - (1 + t)}{2(1 + t)} \le 0$

$\frac{2 - t - 1 - t}{2(1 + t)} \le 0$

$\frac{1 - 2t}{2(1 + t)} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов для $\text{t}$. Корни числителя: $1 - 2t = 0 \implies t = \frac{1}{2}$. Корень знаменателя: $1 + t = 0 \implies t = -1$.

Отметим точки на числовой оси: $-1$ (выколотая) и $\frac{1}{2}$ (закрашенная). Метод интервалов дает нам решение: $t \in (-\infty; -1) \cup [\frac{1}{2}; +\infty)$.

Это эквивалентно двум неравенствам: $t < -1$ или $t \ge \frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену:

1. $\log_2 x < -1 \implies x < 2^{-1} \implies x < \frac{1}{2}$.

2. $\log_2 x \ge \frac{1}{2} \implies x \ge 2^{1/2} \implies x \ge \sqrt{2}$.

Учитывая ОДЗ $x \in (0; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$, получаем:

Из $x < \frac{1}{2}$ и $x>0$ следует $0 < x < \frac{1}{2}$.

Из $x \ge \sqrt{2}$ (что больше $\frac{1}{2}$) следует $x \ge \sqrt{2}$.

Объединяем решения: $x \in (0; \frac{1}{2}) \cup [\sqrt{2}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{2}) \cup [\sqrt{2}; +\infty)$.

2) $\frac{1}{1 + \lg x} + \frac{1}{1 - \lg x} > 2$

ОДЗ:

$x > 0$

$1 + \lg x \ne 0 \implies \lg x \ne -1 \implies x \ne 10^{-1} = 0.1$

$1 - \lg x \ne 0 \implies \lg x \ne 1 \implies x \ne 10^1 = 10$

ОДЗ: $x \in (0; 0.1) \cup (0.1; 10) \cup (10; +\infty)$.

Сделаем замену: пусть $t = \lg x$.

$\frac{1}{1 + t} + \frac{1}{1 - t} > 2$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{1 - t + 1 + t}{(1 + t)(1 - t)} > 2$

$\frac{2}{1 - t^2} > 2$

Разделим обе части на 2:

$\frac{1}{1 - t^2} > 1$

$\frac{1}{1 - t^2} - 1 > 0$

$\frac{1 - (1 - t^2)}{1 - t^2} > 0$

$\frac{t^2}{1 - t^2} > 0$

Поскольку $t^2 \ge 0$, для выполнения строгого неравенства необходимо, чтобы $t \ne 0$ и знаменатель был строго положителен: $1 - t^2 > 0$.

$t^2 < 1 \implies -1 < t < 1$.

С учетом $t \ne 0$, получаем $t \in (-1; 0) \cup (0; 1)$.

Выполним обратную замену:

1. $-1 < \lg x < 0 \implies 10^{-1} < x < 10^0 \implies 0.1 < x < 1$.

2. $0 < \lg x < 1 \implies 10^0 < x < 10^1 \implies 1 < x < 10$.

Эти решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x \in (0.1; 1) \cup (1; 10)$.

3) $\log_2 (\log_{\frac{1}{8}} (\log_4 x)) > 0$

Найдем ОДЗ. Аргументы всех логарифмов должны быть положительны.

1. $x > 0$

2. $\log_4 x > 0$. Так как основание 4 > 1, то $x > 4^0 \implies x > 1$.

3. $\log_{\frac{1}{8}} (\log_4 x) > 0$. Так как основание $\frac{1}{8} < 1$, то $0 < \log_4 x < (\frac{1}{8})^0 \implies 0 < \log_4 x < 1$.

Из $\log_4 x < 1$ следует $x < 4^1 \implies x < 4$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (1; 4)$.

Теперь решаем исходное неравенство. Основание внешнего логарифма 2 > 1, поэтому знак неравенства сохраняется:

$\log_{\frac{1}{8}} (\log_4 x) > 2^0$

$\log_{\frac{1}{8}} (\log_4 x) > 1$

Основание логарифма $\frac{1}{8} < 1$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$\log_4 x < (\frac{1}{8})^1$

$\log_4 x < \frac{1}{8}$

Основание логарифма 4 > 1, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x < 4^{1/8}$

$x < (2^2)^{1/8} = 2^{2/8} = 2^{1/4} = \sqrt[4]{2}$.

Пересекаем полученное решение с ОДЗ $x \in (1; 4)$.

Так как $1^4 = 1$ и $(\sqrt[4]{2})^4 = 2$, то $1 < \sqrt[4]{2}$. Также $\sqrt[4]{2} < 4$.

Пересечение $(-\infty; \sqrt[4]{2})$ и $(1; 4)$ есть интервал $(1; \sqrt[4]{2})$.

Ответ: $x \in (1; \sqrt[4]{2})$.

4) $\log_{\frac{1}{8}} (\log_4 (x^2 - 5)) > 0$

Найдем ОДЗ:

1. $x^2 - 5 > 0 \implies x^2 > 5 \implies x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$.

2. $\log_4 (x^2 - 5) > 0$. Так как основание 4 > 1, то $x^2 - 5 > 4^0 \implies x^2 - 5 > 1 \implies x^2 > 6$.

Отсюда $x \in (-\infty; -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}; +\infty)$.

Пересечение этих двух условий дает ОДЗ: $x \in (-\infty; -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}; +\infty)$.

Решаем неравенство. Основание логарифма $\frac{1}{8} < 1$, поэтому знак неравенства меняется:

$\log_4 (x^2 - 5) < (\frac{1}{8})^0$

$\log_4 (x^2 - 5) < 1$

Основание логарифма 4 > 1, знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 5 < 4^1$

$x^2 - 5 < 4$

$x^2 < 9$

$-3 < x < 3$.

Найдем пересечение решения $x \in (-3; 3)$ с ОДЗ $x \in (-\infty; -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}; +\infty)$.

Сравним числа: $6 < 9 \implies \sqrt{6} < 3$.

1. Пересечение $(-3; 3)$ и $(-\infty; -\sqrt{6})$ дает $(-3; -\sqrt{6})$.

2. Пересечение $(-3; 3)$ и $(\sqrt{6}; +\infty)$ дает $(\sqrt{6}; 3)$.

Объединяем эти два интервала.

Ответ: $x \in (-3; -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}; 3)$.