Номер 9.199, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.197-9.200 найдите производные функций.

9.199. 1) $y=9\sqrt[3]{x}-8\sqrt[4]{x}$;

2) $y=\frac{10}{\sqrt[6]{x}}+\frac{6}{\sqrt[3]{x}}$.

1)

Дана функция $y = 9\sqrt[3]{x} - 8\sqrt[4]{x}$.

Для нахождения производной, представим функцию в виде степенной функции. Используем свойство корня $\text{n}$-ой степени: $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$.

$y = 9x^{1/3} - 8x^{1/4}$.

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования разности функций $(u-v)' = u' - v'$.

$y' = (9x^{1/3} - 8x^{1/4})' = (9x^{1/3})' - (8x^{1/4})'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

$(9x^{1/3})' = 9 \cdot (x^{1/3})' = 9 \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = 3x^{-\frac{2}{3}}$.

$(8x^{1/4})' = 8 \cdot (x^{1/4})' = 8 \cdot \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = 2x^{-\frac{3}{4}}$.

Подставим полученные производные в общее выражение:

$y' = 3x^{-\frac{2}{3}} - 2x^{-\frac{3}{4}}$.

Запишем результат, используя корни, чтобы вернуться к исходной форме записи.

$x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{x^{2/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$.

$x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{x^{3/4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$.

Следовательно, $y' = \frac{3}{\sqrt[3]{x^2}} - \frac{2}{\sqrt[4]{x^3}}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{\sqrt[3]{x^2}} - \frac{2}{\sqrt[4]{x^3}}$.

2)

Дана функция $y = \frac{10}{\sqrt[5]{x}} + \frac{6}{\sqrt[3]{x}}$.

Для нахождения производной, представим функцию в виде степенной функции с отрицательными показателями. Используем свойства: $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$ и $\frac{1}{x^n} = x^{-n}$.

$y = \frac{10}{x^{1/5}} + \frac{6}{x^{1/3}} = 10x^{-1/5} + 6x^{-1/3}$.

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования суммы функций $(u+v)' = u' + v'$.

$y' = (10x^{-1/5} + 6x^{-1/3})' = (10x^{-1/5})' + (6x^{-1/3})'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

$(10x^{-1/5})' = 10 \cdot (-\frac{1}{5})x^{-\frac{1}{5}-1} = -2x^{-\frac{6}{5}}$.

$(6x^{-1/3})' = 6 \cdot (-\frac{1}{3})x^{-\frac{1}{3}-1} = -2x^{-\frac{4}{3}}$.

Подставим полученные производные в общее выражение:

$y' = -2x^{-\frac{6}{5}} - 2x^{-\frac{4}{3}}$.

Запишем результат, используя корни.

$x^{-\frac{6}{5}} = \frac{1}{x^{6/5}} = \frac{1}{\sqrt[5]{x^6}}$.

$x^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{x^{4/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^4}}$.

Следовательно, $y' = -\frac{2}{\sqrt[5]{x^6}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x^4}}$.

Ответ: $y' = -\frac{2}{\sqrt[5]{x^6}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x^4}}$.