Номер 9.204, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.204. 1) $y = x^2 + 3^x;$

2) $y = x^2 \cdot e^{-2x}.$

1) Найдём производную функции $y = x^2 + 3^x$.

Данная функция представляет собой сумму двух функций: $f(x) = x^2$ и $g(x) = 3^x$. Для нахождения производной суммы используется правило дифференцирования суммы, согласно которому производная суммы функций равна сумме их производных: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$.

Найдём производную каждого слагаемого по отдельности.

Производная степенной функции $x^2$ находится по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$(x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$.

Производная показательной функции $3^x$ находится по формуле $(a^x)' = a^x \ln a$:

$(3^x)' = 3^x \ln 3$.

Теперь сложим полученные производные, чтобы найти производную исходной функции:

$y' = (x^2 + 3^x)' = (x^2)' + (3^x)' = 2x + 3^x \ln 3$.

Ответ: $y' = 2x + 3^x \ln 3$.

2) Найдём производную функции $y = x^2 \cdot e^{-2x}$.

Данная функция представляет собой произведение двух функций: $u(x) = x^2$ и $v(x) = e^{-2x}$. Для нахождения производной произведения используется правило дифференцирования произведения (правило Лейбница): $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдём производные функций $u(x)$ и $v(x)$.

Производная $u(x) = x^2$:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$.

Для нахождения производной $v(x) = e^{-2x}$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Внешняя функция — $e^z$, её производная — $e^z$. Внутренняя функция — $z(x) = -2x$, её производная — $-2$.

Производная сложной функции $(f(g(x)))'$ равна $f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

$v'(x) = (e^{-2x})' = e^{-2x} \cdot (-2x)' = e^{-2x} \cdot (-2) = -2e^{-2x}$.

Теперь подставим найденные производные $u'$ и $v'$ в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = (2x) \cdot (e^{-2x}) + (x^2) \cdot (-2e^{-2x})$.

Упростим полученное выражение:

$y' = 2xe^{-2x} - 2x^2e^{-2x}$.

Можно вынести общий множитель $2xe^{-2x}$ за скобки для более компактного вида:

$y' = 2xe^{-2x}(1 - x)$.

Ответ: $y' = 2xe^{-2x}(1 - x)$.