Номер 9.210, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.210. Найдите промежутки убывания функции:

1) $y=\frac{x}{2}+\frac{2}{x};$

2) $y=4x-\frac{x^3}{3};$

3) $y=\frac{1+\ln x}{x}.$

1) Для функции $y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$.

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения: $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Теперь найдем производную функции $y'$:

$y' = \left(\frac{x}{2} + \frac{2}{x}\right)' = \left(\frac{1}{2}x + 2x^{-1}\right)' = \frac{1}{2} - 2x^{-2} = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2}$.

Функция убывает, когда ее производная отрицательна, то есть $y' < 0$. Найдем промежутки, на которых это условие выполняется.

$\frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2 - 4}{2x^2} < 0$

Так как знаменатель $2x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$, знак дроби зависит от знака числителя:

$x^2 - 4 < 0$

$x^2 < 4$

$|x| < 2$, что равносильно $-2 < x < 2$.

Учитывая область определения ($x \neq 0$), получаем, что функция убывает при $x \in (-2, 0) \cup (0, 2)$.

Поскольку функция непрерывна в точках $x=-2$ и $x=2$ (где производная равна нулю), эти точки можно включить в промежутки убывания.

Ответ: функция убывает на промежутках $[-2, 0)$ и $(0, 2]$.

2) Для функции $y = 4x - \frac{x^3}{3}$.

Эта функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Найдем производную функции $y'$:

$y' = \left(4x - \frac{x^3}{3}\right)' = 4 - \frac{3x^2}{3} = 4 - x^2$.

Функция убывает, когда $y' < 0$. Решим неравенство:

$4 - x^2 < 0$

$4 < x^2$

$|x| > 2$, что означает $x < -2$ или $x > 2$.

Следовательно, функция убывает на объединении промежутков $(-\infty, -2)$ и $(2, +\infty)$.

Так как функция непрерывна на всей числовой прямой, а в точках $x=-2$ и $x=2$ производная равна нулю, эти точки можно включить в промежутки убывания.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[2, +\infty)$.

3) Для функции $y = \frac{1 + \ln x}{x}$.

Область определения функции определяется двумя условиями: аргумент логарифма должен быть положительным ($x > 0$) и знаменатель не должен быть равен нулю ($x \neq 0$). Оба условия сводятся к $x > 0$. Область определения: $D(y) = (0, +\infty)$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \frac{(1 + \ln x)' \cdot x - (1 + \ln x) \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - (1 + \ln x) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - (1 + \ln x)}{x^2} = \frac{1 - 1 - \ln x}{x^2} = \frac{-\ln x}{x^2}$.

Функция убывает, когда $y' < 0$.

$\frac{-\ln x}{x^2} < 0$

На области определения $x > 0$, знаменатель $x^2$ всегда положителен. Следовательно, знак производной определяется знаком числителя:

$-\ln x < 0$

$\ln x > 0$

Это неравенство выполняется, когда аргумент натурального логарифма больше 1, то есть $x > 1$.

Таким образом, функция убывает на промежутке $(1, +\infty)$.

Поскольку функция непрерывна в точке $x=1$ (где производная равна нулю), эту точку можно включить в промежуток убывания.

Ответ: функция убывает на промежутке $[1, +\infty)$.