Номер 9.211, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.211. Напишите уравнения касательных к графикам функций из упражнения 9.209, проведенных в точке с абсциссой $x = 1$.

9.209. Найдите промежутки возрастания функции:

1) $y = x^2 + 4x + 5$;

2) $y = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3$;

3) $y = \frac{1}{1+x^2}$.

1) Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для функции $y = x^2 + 4x + 5$ и точки $x_0 = 1$ найдем все компоненты уравнения.

Значение функции в точке $x_0=1$:

$f(1) = 1^2 + 4 \cdot 1 + 5 = 1 + 4 + 5 = 10$.

Производная функции:

$f'(x) = (x^2 + 4x + 5)' = 2x + 4$.

Значение производной в точке $x_0=1$ (угловой коэффициент касательной):

$f'(1) = 2 \cdot 1 + 4 = 6$.

Подставляем найденные значения в формулу уравнения касательной:

$y = 10 + 6(x - 1)$

$y = 10 + 6x - 6$

$y = 6x + 4$.

Ответ: $y = 6x + 4$.

2) Для функции $y = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3$ и точки $x_0 = 1$.

Значение функции в точке $x_0=1$:

$f(1) = \frac{1^3}{3} - 1^2 - 3 = \frac{1}{3} - 1 - 3 = \frac{1}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{11}{3}$.

Производная функции:

$f'(x) = (\frac{x^3}{3} - x^2 - 3)' = \frac{3x^2}{3} - 2x = x^2 - 2x$.

Значение производной в точке $x_0=1$:

$f'(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$.

Подставляем найденные значения в формулу уравнения касательной:

$y = -\frac{11}{3} + (-1)(x - 1)$

$y = -\frac{11}{3} - x + 1$

$y = -x + \frac{3}{3} - \frac{11}{3}$

$y = -x - \frac{8}{3}$.

Ответ: $y = -x - \frac{8}{3}$.

3) Для функции $y = \frac{1}{1+x^2}$ и точки $x_0 = 1$.

Значение функции в точке $x_0=1$:

$f(1) = \frac{1}{1+1^2} = \frac{1}{2}$.

Производная функции (используя правило для частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$):

$f'(x) = (\frac{1}{1+x^2})' = \frac{(1)'(1+x^2) - 1(1+x^2)'}{(1+x^2)^2} = \frac{0 \cdot (1+x^2) - 1 \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$.

Значение производной в точке $x_0=1$:

$f'(1) = -\frac{2 \cdot 1}{(1+1^2)^2} = -\frac{2}{2^2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Подставляем найденные значения в формулу уравнения касательной:

$y = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{2})(x - 1)$

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

$y = -\frac{1}{2}x + 1$.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}x + 1$.