Номер 9.212, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.212. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке:

1) $f(x)=x^5-x^3+x+2$, $[-1; 1]$;

2) $f(x) = 3x^4+4x^3+2$, $[-2; 1]$;

3) $f(x)=\frac{1}{2}\cos 2x + \sin x$, $[0; \frac{\pi}{2}]$;

4) $f(x) = \operatorname{tg}x + \operatorname{ctg}x$, $[\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{3}]$.

1)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^5 - x^3 + x + 2$ на отрезке $[-1; 1]$ найдем ее производную, определим критические точки, а затем сравним значения функции в этих точках и на концах отрезка.

Производная функции:

$f'(x) = (x^5 - x^3 + x + 2)' = 5x^4 - 3x^2 + 1$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$5x^4 - 3x^2 + 1 = 0$.

Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид:

$5t^2 - 3t + 1 = 0$.

Дискриминант этого квадратного уравнения: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 9 - 20 = -11$.

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что у функции $f(x)$ нет стационарных точек. Производная $f'(x)$ существует и положительна при всех $\text{x}$ (т.к. $5t^2 - 3t + 1 > 0$ для всех $\text{t}$), следовательно, функция монотонно возрастает.

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной возрастающей функции на отрезке достигаются на его концах. Вычислим значения функции в точках $x=-1$ и $x=1$.

При $x = -1$:

$f(-1) = (-1)^5 - (-1)^3 + (-1) + 2 = -1 - (-1) - 1 + 2 = -1 + 1 - 1 + 2 = 1$.

При $x = 1$:

$f(1) = 1^5 - 1^3 + 1 + 2 = 1 - 1 + 1 + 2 = 3$.

Сравнивая значения, получаем, что наименьшее значение функции равно $\text{1}$, а наибольшее равно $\text{3}$.

Ответ: Наименьшее значение: $\text{1}$, наибольшее значение: $\text{3}$.

2)

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 3x^4 + 4x^3 + 2$ на отрезке $[-2; 1]$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (3x^4 + 4x^3 + 2)' = 12x^3 + 12x^2$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$12x^3 + 12x^2 = 0$,

$12x^2(x + 1) = 0$.

Корнями уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. Обе точки принадлежат отрезку $[-2; 1]$.

Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка: $x=-2, x=-1, x=0, x=1$.

При $x = -2$: $f(-2) = 3(-2)^4 + 4(-2)^3 + 2 = 3 \cdot 16 + 4 \cdot (-8) + 2 = 48 - 32 + 2 = 18$.

При $x = -1$: $f(-1) = 3(-1)^4 + 4(-1)^3 + 2 = 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) + 2 = 3 - 4 + 2 = 1$.

При $x = 0$: $f(0) = 3(0)^4 + 4(0)^3 + 2 = 0 + 0 + 2 = 2$.

При $x = 1$: $f(1) = 3(1)^4 + 4(1)^3 + 2 = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + 2 = 3 + 4 + 2 = 9$.

Среди полученных значений $\{18, 1, 2, 9\}$ выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ: Наименьшее значение: $\text{1}$, наибольшее значение: $18$.

3)

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \frac{1}{2}\cos(2x) + \sin x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{1}{2}\cos(2x) + \sin x)' = \frac{1}{2} \cdot (-\sin(2x)) \cdot 2 + \cos x = -\sin(2x) + \cos x$.

Используя формулу двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, преобразуем производную:

$f'(x) = -2\sin x \cos x + \cos x = \cos x (1 - 2\sin x)$.

Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$:

$\cos x (1 - 2\sin x) = 0$.

Уравнение распадается на два:

1. $\cos x = 0$, откуда на данном отрезке $x = \frac{\pi}{2}$. Это правый конец отрезка.

2. $1 - 2\sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$, откуда на данном отрезке $x = \frac{\pi}{6}$.

Сравним значения функции в точках $x=0$, $x=\frac{\pi}{6}$ и $x=\frac{\pi}{2}$.

При $x=0$: $f(0) = \frac{1}{2}\cos(0) + \sin(0) = \frac{1}{2} \cdot 1 + 0 = \frac{1}{2}$.

При $x=\frac{\pi}{6}$: $f(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{3}) + \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$.

При $x=\frac{\pi}{2}$: $f(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}\cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}\cos(\pi) + \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (-1) + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

Среди значений $\{\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{1}{2}\}$ наибольшее равно $\frac{3}{4}$, а наименьшее равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: Наименьшее значение: $\frac{1}{2}$, наибольшее значение: $\frac{3}{4}$.

4)

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \text{tg}x + \text{ctg}x$ на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{3}]$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\text{tg}x + \text{ctg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x}$.

Приведем к общему знаменателю: $f'(x) = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{-\cos(2x)}{(\sin x \cos x)^2}$.

Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$\frac{-\cos(2x)}{(\sin x \cos x)^2} = 0$.

На отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{3}]$ знаменатель не равен нулю. Значит, $-\cos(2x) = 0$, или $\cos(2x) = 0$.

Общее решение: $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.

Выберем корни, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{3}]$.

При $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{4}$. Этот корень принадлежит отрезку, так как $\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3}$.

При других целых $\text{k}$ корни не попадают в заданный отрезок.

Вычислим значения функции в критической точке $x=\frac{\pi}{4}$ и на концах отрезка $x=\frac{\pi}{6}$ и $x=\frac{\pi}{3}$.

При $x=\frac{\pi}{6}$: $f(\frac{\pi}{6}) = \text{tg}(\frac{\pi}{6}) + \text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} = \frac{1+3}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

При $x=\frac{\pi}{4}$: $f(\frac{\pi}{4}) = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) + \text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1 + 1 = 2$.

При $x=\frac{\pi}{3}$: $f(\frac{\pi}{3}) = \text{tg}(\frac{\pi}{3}) + \text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3+1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Сравним значения $\text{2}$ и $\frac{4\sqrt{3}}{3}$. Так как $\sqrt{3} > \sqrt{2.25} = 1.5$, то $4\sqrt{3} > 4 \cdot 1.5 = 6$, и $\frac{4\sqrt{3}}{3} > \frac{6}{3} = 2$.

Таким образом, наименьшее значение равно $\text{2}$, а наибольшее равно $\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: Наименьшее значение: $\text{2}$, наибольшее значение: $\frac{4\sqrt{3}}{3}$.