Номер 9.214, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.214. Найдите экстремумы функции:

1) $y = \frac{x^4}{4} - 2x^2$;

2) $y = \frac{x^2}{x-2}$;

3) $y = x - 2\ln x.$

1) $y = \frac{x^4}{4} - 2x^2$

Чтобы найти экстремумы функции, необходимо найти её производную, приравнять к нулю, найти критические точки и исследовать знак производной в окрестности этих точек.

1. Найдём область определения функции. Так как функция является многочленом, её область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдём производную функции: $y' = (\frac{x^4}{4} - 2x^2)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - 2 \cdot 2x = x^3 - 4x$.

3. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$x^3 - 4x = 0$

$x(x^2 - 4) = 0$

$x(x - 2)(x + 2) = 0$

Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$, $(2, +\infty)$.

• При $x \in (-\infty, -2)$, например $x=-3$, $y'(-3) = (-3)^3 - 4(-3) = -27 + 12 = -15 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-2, 0)$, например $x=-1$, $y'(-1) = (-1)^3 - 4(-1) = -1 + 4 = 3 > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0, 2)$, например $x=1$, $y'(1) = 1^3 - 4(1) = 1 - 4 = -3 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (2, +\infty)$, например $x=3$, $y'(3) = 3^3 - 4(3) = 27 - 12 = 15 > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x = -2$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума. В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума. В точке $x = 2$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

6. Найдём значения функции в точках экстремума (экстремумы функции).

$y_{min} = y(-2) = \frac{(-2)^4}{4} - 2(-2)^2 = \frac{16}{4} - 2 \cdot 4 = 4 - 8 = -4$.

$y_{max} = y(0) = \frac{0^4}{4} - 2(0)^2 = 0$.

$y_{min} = y(2) = \frac{2^4}{4} - 2(2)^2 = \frac{16}{4} - 2 \cdot 4 = 4 - 8 = -4$.

Ответ: $y_{max}(0) = 0$, $y_{min}(\pm 2) = -4$.

2) $y = \frac{x^2}{x-2}$

1. Найдём область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x - 2 \neq 0$, следовательно $x \neq 2$. $D(y) = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.

2. Найдём производную функции, используя правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \frac{(x^2)'(x-2) - x^2(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{2x(x-2) - x^2 \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x}{(x-2)^2}$.

3. Найдём критические точки. Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.

$\frac{x^2 - 4x}{(x-2)^2} = 0$

Это равенство выполняется, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. $x^2 - 4x = 0$ при $x \neq 2$.

$x(x - 4) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. Точка $x=2$ не является критической, так как не входит в область определения функции.

4. Исследуем знак производной. Знаменатель производной $(x-2)^2$ всегда положителен при $x \neq 2$, поэтому знак $y'$ совпадает со знаком числителя $x(x-4)$.

• При $x \in (-\infty, 0)$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0, 2)$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (2, 4)$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (4, +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума. В точке $x = 4$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

6. Найдём экстремумы функции.

$y_{max} = y(0) = \frac{0^2}{0-2} = 0$.

$y_{min} = y(4) = \frac{4^2}{4-2} = \frac{16}{2} = 8$.

Ответ: $y_{max}(0) = 0$, $y_{min}(4) = 8$.

3) $y = x - 2\ln x$

1. Найдём область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$. $D(y) = (0, +\infty)$.

2. Найдём производную функции:

$y' = (x - 2\ln x)' = 1 - 2 \cdot \frac{1}{x} = 1 - \frac{2}{x}$.

3. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$1 - \frac{2}{x} = 0$

$1 = \frac{2}{x}$

$x = 2$. Эта точка принадлежит области определения. Производная не определена при $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критическая точка $x=2$ разбивает область определения: $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$.

• При $x \in (0, 2)$, например $x=1$, $y'(1) = 1 - \frac{2}{1} = -1 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (2, +\infty)$, например $x=3$, $y'(3) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x = 2$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

6. Найдём экстремум функции.

$y_{min} = y(2) = 2 - 2\ln 2$.

Ответ: $y_{min}(2) = 2 - 2\ln 2$.