Номер 9.218, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.218. В треугольник с основанием $\text{a}$ и высотой $\text{h}$ вписан прямоугольник с наибольшей площадью. Найдите площадь этого прямоугольника.

Пусть дан треугольник с основанием $\text{a}$ и высотой $\text{h}$, проведенной к этому основанию. В этот треугольник вписан прямоугольник таким образом, что одна его сторона лежит на основании треугольника, а две другие вершины лежат на боковых сторонах треугольника. Обозначим стороны этого прямоугольника через $\text{x}$ и $\text{y}$, где $\text{x}$ — длина стороны, параллельной основанию $\text{a}$, а $\text{y}$ — высота прямоугольника.

Площадь вписанного прямоугольника $\text{S}$ выражается формулой: $S = x \cdot y$. Наша задача — найти максимальное значение этой площади.

Рассмотрим сечение, образованное высотой треугольника. Прямоугольник отсекает от исходного треугольника сверху подобный ему меньший треугольник. Основание этого меньшего треугольника равно $\text{x}$, а его высота равна $h-y$.

Из подобия исходного треугольника (с основанием $\text{a}$ и высотой $\text{h}$) и меньшего треугольника (с основанием $\text{x}$ и высотой $h-y$) следует пропорциональность их соответствующих сторон и высот:

$\frac{x}{a} = \frac{h-y}{h}$

Из этой пропорции выразим одну переменную через другую, например $\text{x}$ через $\text{y}$:

$x = a \cdot \frac{h-y}{h} = a \left(1 - \frac{y}{h}\right)$

Теперь подставим это выражение для $\text{x}$ в формулу площади прямоугольника, чтобы получить функцию площади, зависящую только от одной переменной $\text{y}$:

$S(y) = x \cdot y = a \left(1 - \frac{y}{h}\right) \cdot y = a \left(y - \frac{y^2}{h}\right)$

Для нахождения максимального значения этой функции можно использовать производную. Найдем производную функции $S(y)$ по $\text{y}$ и приравняем ее к нулю:

$S'(y) = \frac{d}{dy} \left(ay - \frac{a}{h}y^2\right) = a - \frac{2a}{h}y$

Приравняем производную к нулю для нахождения экстремума:

$a - \frac{2a}{h}y = 0$

$a = \frac{2a}{h}y$

Поскольку $a \neq 0$, можно сократить на $\text{a}$:

$1 = \frac{2y}{h}$

$y = \frac{h}{2}$

Это значение $\text{y}$ соответствует максимуму, так как вторая производная $S''(y) = -\frac{2a}{h} < 0$ (поскольку $a > 0$ и $h > 0$).

Итак, высота прямоугольника с наибольшей площадью равна половине высоты треугольника. Теперь найдем соответствующую ей ширину $\text{x}$:

$x = a \left(1 - \frac{y}{h}\right) = a \left(1 - \frac{h/2}{h}\right) = a \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{a}{2}$

Таким образом, стороны прямоугольника с наибольшей площадью равны $\frac{a}{2}$ и $\frac{h}{2}$.

Теперь вычислим саму наибольшую площадь:

$S_{max} = x \cdot y = \frac{a}{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{ah}{4}$

Ответ: $\frac{ah}{4}$