Номер 9.224, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.224–9.229 найдите неопределенный интеграл.

9.224. 1) $\int(x^2+2x-\frac{1}{x})dx;$

2) $\int\frac{x^2+1}{x^2}dx;$

3) $\int(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})dx;$

4) $\int\frac{x-1}{\sqrt[3]{x^2}}dx.$

1) Для нахождения неопределенного интеграла воспользуемся свойством линейности, которое позволяет разбить интеграл от суммы/разности функций на сумму/разность интегралов от этих функций:

$ \int (x^2 + 2x - \frac{1}{x}) dx = \int x^2 dx + \int 2x dx - \int \frac{1}{x} dx $

Теперь найдем каждый интеграл по отдельности. Для первых двух слагаемых применим формулу для степенной функции $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $, а для третьего - табличный интеграл.

$ \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} $

$ \int 2x dx = 2 \int x^1 dx = 2 \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \frac{x^2}{2} = x^2 $

$ \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| $

Собрав все части вместе и добавив константу интегрирования $\text{C}$, получаем:

$ \frac{x^3}{3} + x^2 - \ln|x| + C $

Ответ: $ \frac{x^3}{3} + x^2 - \ln|x| + C $

2) Сначала преобразуем подынтегральное выражение, разделив числитель на знаменатель почленно:

$ \int \frac{x^2+1}{x^2} dx = \int (\frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2}) dx = \int (1 + x^{-2}) dx $

Теперь используем свойство линейности интеграла:

$ \int 1 dx + \int x^{-2} dx $

Найдем каждый интеграл:

$ \int 1 dx = x $

$ \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x} $

Складываем полученные результаты и добавляем константу интегрирования $\text{C}$:

$ x - \frac{1}{x} + C $

Ответ: $ x - \frac{1}{x} + C $

3) Представим корни в виде степенных функций:

$ \int (\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}) dx = \int (x^{1/2} + x^{1/3}) dx $

Применим свойство линейности интеграла:

$ \int x^{1/2} dx + \int x^{1/3} dx $

Воспользуемся формулой для интегрирования степенной функции для каждого слагаемого:

$ \int x^{1/2} dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2} $

$ \int x^{1/3} dx = \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} = \frac{x^{4/3}}{4/3} = \frac{3}{4}x^{4/3} $

Суммируем результаты и добавляем константу $\text{C}$:

$ \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{4}x^{4/3} + C $

Ответ: $ \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{4}x^{4/3} + C $

4) Преобразуем подынтегральное выражение, представив корень в знаменателе в виде степени и разделив на него числитель почленно:

$ \int \frac{x-1}{\sqrt[3]{x^2}} dx = \int \frac{x-1}{x^{2/3}} dx = \int (\frac{x^1}{x^{2/3}} - \frac{1}{x^{2/3}}) dx $

Используем свойства степеней для упрощения:

$ \int (x^{1-2/3} - x^{-2/3}) dx = \int (x^{1/3} - x^{-2/3}) dx $

Применим свойство линейности и найдем интегралы от каждой функции:

$ \int x^{1/3} dx - \int x^{-2/3} dx $

$ \int x^{1/3} dx = \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} = \frac{x^{4/3}}{4/3} = \frac{3}{4}x^{4/3} $

$ \int x^{-2/3} dx = \frac{x^{-2/3+1}}{-2/3+1} = \frac{x^{1/3}}{1/3} = 3x^{1/3} $

Вычтем второе из первого и добавим константу интегрирования $\text{C}$:

$ \frac{3}{4}x^{4/3} - 3x^{1/3} + C $

Ответ: $ \frac{3}{4}x^{4/3} - 3x^{1/3} + C $