Номер 9.231, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.230-9.232 вычислите интегралы.

9.231. 1) $\int_0^a e^{\frac{x}{3}} dx;$

2) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin 4x dx;$

3) $\int_0^1 \frac{x dx}{1+x^2};$

4) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos^2 x dx.$

1) Для вычисления интеграла $ \int_{0}^{3} e^{\frac{x}{3}}dx $ сначала найдем первообразную функции $ f(x) = e^{\frac{x}{3}} $. Общая формула для первообразной функции $ e^{kx} $ есть $ \frac{1}{k}e^{kx} $. В данном случае $ k = \frac{1}{3} $, поэтому первообразная равна $ \frac{1}{1/3}e^{\frac{x}{3}} = 3e^{\frac{x}{3}} $.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $:

$ \int_{0}^{3} e^{\frac{x}{3}}dx = [3e^{\frac{x}{3}}]_{0}^{3} = 3e^{\frac{3}{3}} - 3e^{\frac{0}{3}} = 3e^{1} - 3e^{0} = 3e - 3 \cdot 1 = 3(e - 1) $.

Ответ: $ 3(e - 1) $.

2) Для вычисления интеграла $ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin{4x}dx $ найдем первообразную функции $ f(x) = \sin{4x} $. Общая формула для первообразной функции $ \sin{kx} $ есть $ -\frac{1}{k}\cos{kx} $. В данном случае $ k = 4 $, поэтому первообразная равна $ -\frac{1}{4}\cos{4x} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin{4x}dx = [-\frac{1}{4}\cos{4x}]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (-\frac{1}{4}\cos(4 \cdot \frac{\pi}{4})) - (-\frac{1}{4}\cos(4 \cdot 0)) = -\frac{1}{4}\cos{\pi} + \frac{1}{4}\cos{0} = -\frac{1}{4}(-1) + \frac{1}{4}(1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $.

3) Для вычисления интеграла $ \int_{0}^{1} \frac{xdx}{1+x^2} $ найдем первообразную, используя метод замены переменной.

Пусть $ t = 1 + x^2 $. Тогда дифференциал $ dt = (1+x^2)'dx = 2xdx $, откуда $ xdx = \frac{dt}{2} $.

Неопределенный интеграл принимает вид: $ \int \frac{xdx}{1+x^2} = \int \frac{dt/2}{t} = \frac{1}{2}\int \frac{dt}{t} = \frac{1}{2}\ln|t| + C $.

Возвращаемся к исходной переменной: $ \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C $. Знак модуля можно опустить, так как $ 1+x^2 > 0 $ при любых $ x $.

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{1} \frac{xdx}{1+x^2} = [\frac{1}{2}\ln(1+x^2)]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\ln(1+1^2) - \frac{1}{2}\ln(1+0^2) = \frac{1}{2}\ln(2) - \frac{1}{2}\ln(1) = \frac{1}{2}\ln(2) - 0 = \frac{\ln{2}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\ln{2}}{2} $.

4) Для вычисления интеграла $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{x}\cos^2{x}dx $ используем метод замены переменной для нахождения первообразной.

Пусть $ t = \cos{x} $. Тогда дифференциал $ dt = (\cos{x})'dx = -\sin{x}dx $, откуда $ \sin{x}dx = -dt $.

Неопределенный интеграл принимает вид: $ \int \sin{x}\cos^2{x}dx = \int t^2 (-dt) = -\int t^2 dt = -\frac{t^3}{3} + C $.

Возвращаемся к исходной переменной: $ -\frac{\cos^3{x}}{3} + C $.

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{x}\cos^2{x}dx = [-\frac{\cos^3{x}}{3}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (-\frac{\cos^3(\frac{\pi}{2})}{3}) - (-\frac{\cos^3(0)}{3}) = (-\frac{0^3}{3}) - (-\frac{1^3}{3}) = 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3} $.

Ответ: $ \frac{1}{3} $.