Номер 9.237, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.233-9.243 найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной данными линиями, и выполните соответствующий чертеж.

9.237. $f(x) = \sin 2x, x = \frac{\pi}{8}, x = \frac{\pi}{4}, y = 0$

9.237. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле определенного интеграла:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

В нашем случае даны линии: $f(x) = \sin 2x$, $y=0$, $x = \frac{\pi}{8}$ и $x = \frac{\pi}{4}$. На отрезке $[\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{4}]$ функция $f(x) = \sin 2x$ принимает неотрицательные значения, поскольку аргумент $2x$ изменяется в пределах от $2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$ до $2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$, а синус в этом диапазоне положителен.

Таким образом, искомая площадь равна:

$S = \int_{\pi/8}^{\pi/4} \sin 2x \,dx$

Найдем первообразную для функции $\sin 2x$. Она равна $F(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x$. По формуле Ньютона-Лейбница:

$S = F(\frac{\pi}{4}) - F(\frac{\pi}{8}) = \left. (-\frac{1}{2}\cos 2x) \right|_{\pi/8}^{\pi/4}$

$S = \left(-\frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right) - \left(-\frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right)\right) = -\frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$

Подставляя табличные значения $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$S = -\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Для построения чертежа необходимо в системе координат $xOy$ изобразить график функции $y=\sin 2x$ (синусоида с периодом $\pi$ и амплитудой 1), а также вертикальные прямые $x = \frac{\pi}{8}$ и $x = \frac{\pi}{4}$. Искомая криволинейная трапеция — это фигура, ограниченная сверху дугой графика $y=\sin 2x$, снизу отрезком оси $Ox$ от $\frac{\pi}{8}$ до $\frac{\pi}{4}$, а по бокам — отрезками прямых $x = \frac{\pi}{8}$ и $x = \frac{\pi}{4}$. Вершинами этой фигуры являются точки $(\frac{\pi}{8}, 0)$, $(\frac{\pi}{4}, 0)$, $(\frac{\pi}{4}, 1)$ и $(\frac{\pi}{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: $S = \frac{\sqrt{2}}{4}$