Номер 9.244, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.244–9.247 найдите объем тела, полученного вращением данной кривой вокруг оси $\text{Ox}$.

9.244. $y = \frac{x^8}{3}, x \in [0; 2]$.

9.244. Для нахождения объема тела, полученного вращением вокруг оси $Ox$ криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции $y = f(x)$ на отрезке $[a, b]$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, используется формула:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

В данном задании нам дана функция $y = \frac{x^3}{3}$ и отрезок $x \in [0; 2]$.

Таким образом, мы имеем $f(x) = \frac{x^3}{3}$, $a = 0$ и $b = 2$.

Подставим эти данные в формулу для вычисления объема:

$V = \pi \int_{0}^{2} \left(\frac{x^3}{3}\right)^2 dx$

Сначала возведем в квадрат выражение под знаком интеграла:

$\left(\frac{x^3}{3}\right)^2 = \frac{(x^3)^2}{3^2} = \frac{x^{3 \cdot 2}}{9} = \frac{x^6}{9}$

Теперь интеграл принимает вид:

$V = \pi \int_{0}^{2} \frac{x^6}{9} dx$

Вынесем постоянный множитель $\frac{1}{9}$ за знак интеграла:

$V = \frac{\pi}{9} \int_{0}^{2} x^6 dx$

Найдем первообразную для функции $x^6$, используя общую формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$:

$\int x^6 dx = \frac{x^{6+1}}{6+1} = \frac{x^7}{7}$

Теперь вычислим определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$:

$\int_{0}^{2} x^6 dx = \left[ \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{2} = \frac{2^7}{7} - \frac{0^7}{7}$

Вычислим значение $2^7$:

$2^7 = 128$

Подставим это значение обратно в выражение:

$\frac{128}{7} - \frac{0}{7} = \frac{128}{7}$

Наконец, найдем итоговый объем, умножив результат на $\frac{\pi}{9}$:

$V = \frac{\pi}{9} \cdot \frac{128}{7} = \frac{128\pi}{63}$

Ответ: $V = \frac{128\pi}{63}$.